Infrència estadística. Problema grans magatzems

A la sortida d’uns grans magatzems s’ha pres una mostra aleatòria simple de $100$ clients, als quals se’ls ha preguntat per la despesa que han fet i s’ha obtingut una mitjana mostral de $110$ euros. Se sap que la despesa segueix una distribució normal amb desviació típica de $20$ euros. a) Quina distribució de probabilitat segueix la mitjana mostral? b) Obtingueu un interval de confiança al $\bf{90\%}$, per a la despesa mitjana de tots els clients que han comprat aquell dia. c) Si volem que l’error comès, amb el mateix nivell de confiança, sigui $2$ euros, quina ha de ser la mida mínima de la mostra?

a) La distribució normal segueix la mitjana mostral:

\begin{equation}
N\left(110,\dfrac{20}{\sqrt{100}}\right)=N(110,2)
\end{equation}
b) L’interval de confiança per a la mitjana té la forma:

\begin{equation}
(\overline x-E,\overline x+E)
\end{equation}
sent l’error $E=z_{\frac{\alpha}{2}}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$.
Per a un nivell de confiança del $90\%$, tenim $z_{\frac{\alpha}{2}}=1.645$, després

\begin{equation}
E=1.645\cdot\dfrac{20}{\sqrt{100}}=3.29
\end{equation}
i l’interval de confiança és:

\begin{equation}
(110-3.29,110+3.29)=(106.71,113.29)
\end{equation}
c) Volem que l’error $E$ sigui $2$.

\begin{equation}
E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\longrightarrow\sqrt n=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}E=1.645\cdot\dfrac {20}2=16.45\longrightarrow n=16.45^2=270.6
\end{equation}
de manera que la mida de la mostra ha de ser d’almenys $271$ clients.