Infrència estadística. Problema grans magatzems

Infrència estadística. Problema grans magatzems
2 de febrer de 2025 No hi ha comentaris Matemàtiques, Probabilitat Oscar Alex Fernandez Mora

A la sortida d’uns grans magatzems s’ha pres una mostra aleatòria simple de 100 clients, als quals se’ls ha preguntat per la despesa que han fet i s’ha obtingut una mitjana mostral de 110 euros. Se sap que la despesa segueix una distribució normal amb desviació típica de 20 euros. a) Quina distribució de probabilitat segueix la mitjana mostral? b) Obtingueu un interval de confiança al $\bf{90\%}$, per a la despesa mitjana de tots els clients que han comprat aquell dia. c) Si volem que l’error comès, amb el mateix nivell de confiança, sigui $2$ euros, quina ha de ser la mida mínima de la mostra?

a) La distribució normal segueix la mitjana mostral:

\begin{equation}
N\left(110,\dfrac{20}{\sqrt{100}}\right)=N(110,2)
\end{equation}
b) L’interval de confiança per a la mitjana té la forma:

\begin{equation}
(\overline x-E,\overline x+E)
\end{equation}
sent l’error $E=z_{\frac{\alpha}{2}}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$.
Per a un nivell de confiança del $90\%$, tenim $z_{\frac{\alpha}{2}}=1.645$, després

\begin{equation}
E=1.645\cdot\dfrac{20}{\sqrt{100}}=3.29
\end{equation}
i l’interval de confiança és:

\begin{equation}
(110-3.29,110+3.29)=(106.71,113.29)
\end{equation}
c) Volem que l’error $E$ sigui $2$.

\begin{equation}
E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\longrightarrow\sqrt n=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}E=1.645\cdot\dfrac {20}2=16.45\longrightarrow n=16.45^2=270.6
\end{equation}
de manera que la mida de la mostra ha de ser d’almenys $271$ clients.

Tags
Sobre l'autor
Oscar Alex Fernandez Mora Etern estudiant de la Rússia tsarista. Gran aficionat als destil·lats i als fermentats. Malaltís de llibres de la MIR i entusiasta del #LaTeX. Soci de l’ACBC. Important actiu del projecte Campana de Gauss

Leave a reply

L'adreça electrònica no es publicarà. Els camps necessaris estan marcats amb *