Problema sobre moment angular d’un satèl·lit

Problema sobre moment angular d’un satèl·lit
31 de gener de 2025 No hi ha comentaris Camp gravitatori, Física Oscar Alex Fernandez Mora

Un satèl·lit descriu una òrbita el·líptica al voltant de la Terra. L’energia mecànica d’aquest satèl·lit és $E = – \frac{GM_T m}{2a}$ on $a$ és la longitud del semieix major, $M_T$ és la massa de la Terra i $m$ la massa del satèl·lit. Siguin $r_p$ el radi del perigeu i $r_a$ el radi de l’apogeu i $v_p$ la velocitat al perigeu.

a) Demostreu que l’energia mecànica del satèl·lit es pot expressar com: $E = – \frac{GM_T L}{r_p (r_p + r_a) v_p}$

on $L$ és el mòdul del moment angular del satèl·lit respecte al centre de la Terra.

b) La massa del satèl·lit és $750$ kg, té una velocitat de $5,70$ km/s al perigeu, el perigeu està situat a $18.400$ km del centre de la Terra i l’apogeu es troba a una distància de $54.900$ km del centre de la Terra. Trobeu la velocitat a l’apogeu i l’energia mecànica del satèl·lit.

DADES:
$G= 6,67 \times 10^{-11} N\cdot m^2\cdot kg^{-2}$
Massa de la Terra: $M_T = 5,97 \times 10^{24}$ kg

a) El moment angular del satèl·lit respecte el centre de la Terra s’expressa com:
$$\vec{L}_{S,T} = m \vec{r} \times \vec{v}, $$ on $\vec{r}$ és el vector de posició que apunta del centre de la Terra al satèl·lit, $m$ és la massa del satèl·lit i $\vec{v}$ la seva velocitat. El mòdul del moment angular del satèl·lit respecte el centre de la Terra, s’expressa com: $$L_{S,T} = m r v \sin \theta,$$
on $\theta$ és l’angle que formen $\vec{r}$ i $\vec{v}$. Com al perigeu $\vec{r}$ i $\vec{v}$ són perpendiculars, $\theta = \frac{\pi}{2}$ i $\sin \theta = 1$:
$$L_{S,T} = r_p m v_p.$$
I si aïllem el moment angular:
$$\frac{L_{S,T}}{m} = r_p v_p.$$
Si substituïm aquesta expressió a l’expressió de l’energia mecànica, obtenim:
$$E = – \frac{GM_T L_{S,T}}{2a r_p v_p}.$$
I de les relacions de l’el·lipse sabem que el semieix major (a):
$$a = \frac{r_p + r_a}{2}.$$
I traslladant aquest valor a l’expressió de l’energia mecànica obtenim:
$$E = – \frac{GM_T L_{S,T}}{r_p \left( r_p + r_a \right) v_p}.$$
I simplificant:

$$E = – \frac{L_{S,T}}{2} \left( r_p + r_a \right) r_p v_p.$$

b) Si substituïm les dades en l’expressió del mòdul del moment angular:
$$L_{S,T} = r_p m v_p = 1,84 \times 10^6 \, \text{m} \times 750 \, \text{kg} \times 5,70 \times 10^3 \, \text{m/s} = 7,86 \times 10^{10} \, \text{kg} \, \text{m}^2/\text{s}.$$

Com que el moment angular és constant i al perigeu $\vec{r}$ i $\vec{v}$ són perpendiculars, $\theta = \frac{\pi}{2}$ i $\sin \theta = 1$:
$$L_{S,T} = r_p m v_p = r_a m v_a \quad \Rightarrow \quad v_a = \frac{r_p v_p}{r_a}.$$
Substituint els valors:
$$v_a = \frac{1,84 \times 10^6 \, \text{m} \times 5,70 \times 10^3 \, \text{m/s}}{5,49 \times 10^6 \, \text{m}} = 1,91 \times 10^3 \, \text{m/s}.$$

Finalment, utilitzant l’expressió de l’energia mecànica:
$$E = – \frac{G M_T L_{S,T}}{(r_p + r_a) r_p v_p},$$
amb les següents dades:
$$G = 6,67 \times 10^{-11} \, \text{N m}^2 \, \text{kg}^{-2}, \quad M_T = 5,97 \times 10^{24} \, \text{kg}, \quad L_{S,T} = 1,06 \times 10^{11} \, \text{kg} \, \text{m}^2/\text{s}.$$
Així, obtenim:
$$E = – \frac{6,67 \times 10^{-11} \times 5,97 \times 10^{24} \times 1,06 \times 10^{11}}{(5,49 \times 10^6 + 1,84 \times 10^6) \times 1,84 \times 10^6 \times 5,70 \times 10^3} = – 4,08 \times 10^7 \, \text{J}.$$

Tags
Sobre l'autor
Oscar Alex Fernandez Mora Etern estudiant de la Rússia tsarista. Gran aficionat als destil·lats i als fermentats. Malaltís de llibres de la MIR i entusiasta del #LaTeX. Soci de l’ACBC. Important actiu del projecte Campana de Gauss

Leave a reply

L'adreça electrònica no es publicarà. Els camps necessaris estan marcats amb *