LEMNISCATA
Matemàtiques
a) El moment angular del satèl·lit respecte el centre de la Terra s’expressa com:
$$\vec{L}_{S,T} = m \vec{r} \times \vec{v}, $$ on $\vec{r}$ és el vector de posició que apunta del centre de la Terra al satèl·lit, $m$ és la massa del satèl·lit i $\vec{v}$ la seva velocitat. El mòdul del moment angular del satèl·lit respecte el centre de la Terra, s’expressa com: $$L_{S,T} = m r v \sin \theta,$$
on $\theta$ és l’angle que formen $\vec{r}$ i $\vec{v}$. Com al perigeu $\vec{r}$ i $\vec{v}$ són perpendiculars, $\theta = \frac{\pi}{2}$ i $\sin \theta = 1$:
$$L_{S,T} = r_p m v_p.$$
I si aïllem el moment angular:
$$\frac{L_{S,T}}{m} = r_p v_p.$$
Si substituïm aquesta expressió a l’expressió de l’energia mecànica, obtenim:
$$E = – \frac{GM_T L_{S,T}}{2a r_p v_p}.$$
I de les relacions de l’el·lipse sabem que el semieix major (a):
$$a = \frac{r_p + r_a}{2}.$$
I traslladant aquest valor a l’expressió de l’energia mecànica obtenim:
$$E = – \frac{GM_T L_{S,T}}{r_p \left( r_p + r_a \right) v_p}.$$
I simplificant:
$$E = – \frac{L_{S,T}}{2} \left( r_p + r_a \right) r_p v_p.$$
b) Si substituïm les dades en l’expressió del mòdul del moment angular:
$$L_{S,T} = r_p m v_p = 1,84 \times 10^6 \, \text{m} \times 750 \, \text{kg} \times 5,70 \times 10^3 \, \text{m/s} = 7,86 \times 10^{10} \, \text{kg} \, \text{m}^2/\text{s}.$$
Com que el moment angular és constant i al perigeu $\vec{r}$ i $\vec{v}$ són perpendiculars, $\theta = \frac{\pi}{2}$ i $\sin \theta = 1$:
$$L_{S,T} = r_p m v_p = r_a m v_a \quad \Rightarrow \quad v_a = \frac{r_p v_p}{r_a}.$$
Substituint els valors:
$$v_a = \frac{1,84 \times 10^6 \, \text{m} \times 5,70 \times 10^3 \, \text{m/s}}{5,49 \times 10^6 \, \text{m}} = 1,91 \times 10^3 \, \text{m/s}.$$
Finalment, utilitzant l’expressió de l’energia mecànica:
$$E = – \frac{G M_T L_{S,T}}{(r_p + r_a) r_p v_p},$$
amb les següents dades:
$$G = 6,67 \times 10^{-11} \, \text{N m}^2 \, \text{kg}^{-2}, \quad M_T = 5,97 \times 10^{24} \, \text{kg}, \quad L_{S,T} = 1,06 \times 10^{11} \, \text{kg} \, \text{m}^2/\text{s}.$$
Així, obtenim:
$$E = – \frac{6,67 \times 10^{-11} \times 5,97 \times 10^{24} \times 1,06 \times 10^{11}}{(5,49 \times 10^6 + 1,84 \times 10^6) \times 1,84 \times 10^6 \times 5,70 \times 10^3} = – 4,08 \times 10^7 \, \text{J}.$$