Problema de moment angular

Problema de moment angular
31 de gener de 2025 No hi ha comentaris Camp gravitatori, Física Oscar Alex Fernandez Mora

La sonda Voyager 1, llençada el 1977, va ser la primera nau en sortir del sistema solar després d’interaccionar amb Júpiter. El llançament va propulsar la seva massa de $720$ kg a $10,0$ km/s respecte la Terra en la mateixa direcció i sentit que la velocitat de la Terra respecte el Sol. a) Considerant sempre òrbites planetàries circulars respecte al Sol, calcula el moment angular i la velocitat angular del Voyager 1 just després del llançament, encara a prop de l’òrbita terrestre. Calcula amb quina velocitat arribà el Voyager 1 a les proximitats de Júpiter i la seva velocitat angular en aquest punt. b) A partir de l’expressió general de l’energia mecànica, obtingueu l’expressió de la velocitat d’escapament del Sol per una nau a una distància $d_{\text{nau-Sol}}$. Calculeu quina és aquesta velocitat per una nau a prop de Júpiter i decidiu si la Voyager 1 podia escapar-se del Sol abans d’interaccionar amb Júpiter. Calculeu l’energia mínima proporcionada per Júpiter a la nau perquè aquesta s’hagi pogut escapar del sistema solar.

Dades:

Constant de gravitació universal: $G = 6,67 \times 10^{-11}$ N$\cdot$m$^2$/kg$^2$
Massa del Sol: $M_S = 1,989 \times 10^{30}$ kg
Distància del Sol a la Terra: $150 \times 10^9$ m
Distància del Sol a Júpiter: $740 \times 10^9$ m

El moment angular del Voyager respecte al centre del Sol s’expressa com:

$$\mathbf{L}_{\text{Voy,Sol}} = m \mathbf{r} \times \mathbf{v},$$

on $\mathbf{r}$ és el vector de posició que apunta del centre del Sol al Voyager, $m$ és la massa del Voyager i $\mathbf{v}$ és la seva velocitat respecte al Sol. El mòdul del moment angular s’expressa com:

$$L_{\text{Voy,Sol}} = m r v \sin \theta,$$

on $\theta$ és l’angle que formen $\mathbf{r}$ i $\mathbf{v}$. Com que considerem òrbites circulars, $\mathbf{r}$ i $\mathbf{v}$ són perpendiculars, per tant $\theta = \frac{\pi}{2}$ i $\sin \theta = 1$. Així, el mòdul del moment angular és aproximadament:

$$L_{\text{Voy,Sol}} = m r v.$$

Càlcul de la velocitat de la Voyager respecte al Sol

La velocitat del Voyager respecte al Sol serà la suma de la velocitat de la Terra i la velocitat respecte a la Terra. La velocitat de la Terra, sabent que triga un any a fer una volta al voltant del Sol, és:

$$v_T = \frac{2 \pi r}{T} = \frac{2 \pi \times 150 \times 10^9}{365 \times 24 \times 3600} = 2,99 \times 10^4 \text{ m/s}.$$

Per tant, la velocitat del Voyager respecte del Sol just després del llançament és:

$$v = v_T + 10^4 = 3,99 \times 10^4 \text{ m/s}.$$

Càlcul de la velocitat angular

La velocitat angular es calcula com:

$$\omega = \frac{v}{r} = \frac{3,99 \times 10^4}{150 \times 10^9} = 2,66 \times 10^{-7} \text{ rad/s}.$$

Càlcul del moment angular

El moment angular és:

$$L_{\text{Voy,Sol}} = m r v = 720 \times 150 \times 10^9 \times 3,99 \times 10^4.$$

$$L_{\text{Voy,Sol}} = 4,31 \times 10^{18} \text{ kg} \cdot \text{m}^2/\text{s}.$$

Com que el moment angular es conserva, la velocitat del Voyager quan es troba a prop de Júpiter és:

La velocitat del Voyager quan es troba a prop de Júpiter és:

$$v = \frac{m r}{720 \times 740 \times 10^9} = 8,08 \times 10^3 \text{ m/s}.$$

Condició per escapar de la gravetat del Sol

Per escapar de la gravetat del Sol, cal que l’energia mecànica quan la distància al Sol és molt gran sigui zero. Com que el camp gravitatori és conservatiu, l’energia mecànica a una distància $d_{\text{nau-Sol}}$ serà:

$$E = \frac{1}{2} m v^2 – \frac{G M_{\text{Sol}} m}{d_{\text{nau-Sol}}} = 0.$$

Llavors, l’energia cinètica necessària per escapar és:

$$E_c = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{G M_{\text{Sol}} m}{d_{\text{nau-Sol}}}.$$

Càlcul de la velocitat d’escapament

La velocitat d’escapament es calcula com:

$$v_{\text{esc}} = \sqrt{2 G \frac{M_{\text{Sol}}}{d_{\text{nau-Sol}}}}.$$

Substituint els valors coneguts:

$$v_{\text{esc}} = \sqrt{2 \times 6,67 \times 10^{-11} \times \frac{1,989 \times 10^{30}}{740 \times 10^9}} = 1,89 \times 10^4 \text{ m/s}.$$

Com que la velocitat de la Voyager és inferior a la velocitat d’escapament, no pot escapar del Sol abans d’interaccionar amb Júpiter.

Càlcul de l’energia subministrada per Júpiter

L’energia que ha de subministrar Júpiter ha de ser suficient per fer que l’energia mecànica total sigui zero:

$$E_M = 0 = \frac{1}{2} m v^2 – \frac{G M_{\text{Sol}} m}{r_{\text{Júp}}} + E_{\text{Júp}}.$$

D’aquesta expressió, es pot obtenir:

$$E_{\text{Júp}} = \frac{G M_{\text{Sol}} m}{r_{\text{Júp}}} – \frac{1}{2} m v^2.$$

Substituint les dades:

$$E_{\text{Júp}} = 6,67 \times 10^{-11} \times \frac{720 \times 1,989 \times 10^{30}}{740 \times 10^9} – \frac{1}{2} \times 720 \times (8,08 \times 10^3)^2.$$

$$E_{\text{Júp}} = 1,05 \times 10^{11} \text{ J}.$$


Tags
Sobre l'autor
Oscar Alex Fernandez Mora Etern estudiant de la Rússia tsarista. Gran aficionat als destil·lats i als fermentats. Malaltís de llibres de la MIR i entusiasta del #LaTeX. Soci de l’ACBC. Important actiu del projecte Campana de Gauss

Leave a reply

L'adreça electrònica no es publicarà. Els camps necessaris estan marcats amb *