LEMNISCATA
Matemàtiques
El moment angular del Voyager respecte al centre del Sol s’expressa com:
$$\mathbf{L}_{\text{Voy,Sol}} = m \mathbf{r} \times \mathbf{v},$$
on $\mathbf{r}$ és el vector de posició que apunta del centre del Sol al Voyager, $m$ és la massa del Voyager i $\mathbf{v}$ és la seva velocitat respecte al Sol. El mòdul del moment angular s’expressa com:
$$L_{\text{Voy,Sol}} = m r v \sin \theta,$$
on $\theta$ és l’angle que formen $\mathbf{r}$ i $\mathbf{v}$. Com que considerem òrbites circulars, $\mathbf{r}$ i $\mathbf{v}$ són perpendiculars, per tant $\theta = \frac{\pi}{2}$ i $\sin \theta = 1$. Així, el mòdul del moment angular és aproximadament:
$$L_{\text{Voy,Sol}} = m r v.$$
Càlcul de la velocitat de la Voyager respecte al Sol
La velocitat del Voyager respecte al Sol serà la suma de la velocitat de la Terra i la velocitat respecte a la Terra. La velocitat de la Terra, sabent que triga un any a fer una volta al voltant del Sol, és:
$$v_T = \frac{2 \pi r}{T} = \frac{2 \pi \times 150 \times 10^9}{365 \times 24 \times 3600} = 2,99 \times 10^4 \text{ m/s}.$$
Per tant, la velocitat del Voyager respecte del Sol just després del llançament és:
$$v = v_T + 10^4 = 3,99 \times 10^4 \text{ m/s}.$$
Càlcul de la velocitat angular
La velocitat angular es calcula com:
$$\omega = \frac{v}{r} = \frac{3,99 \times 10^4}{150 \times 10^9} = 2,66 \times 10^{-7} \text{ rad/s}.$$
Càlcul del moment angular
El moment angular és:
$$L_{\text{Voy,Sol}} = m r v = 720 \times 150 \times 10^9 \times 3,99 \times 10^4.$$
$$L_{\text{Voy,Sol}} = 4,31 \times 10^{18} \text{ kg} \cdot \text{m}^2/\text{s}.$$
Com que el moment angular es conserva, la velocitat del Voyager quan es troba a prop de Júpiter és:
La velocitat del Voyager quan es troba a prop de Júpiter és:
$$v = \frac{m r}{720 \times 740 \times 10^9} = 8,08 \times 10^3 \text{ m/s}.$$
Condició per escapar de la gravetat del Sol
Per escapar de la gravetat del Sol, cal que l’energia mecànica quan la distància al Sol és molt gran sigui zero. Com que el camp gravitatori és conservatiu, l’energia mecànica a una distància $d_{\text{nau-Sol}}$ serà:
$$E = \frac{1}{2} m v^2 – \frac{G M_{\text{Sol}} m}{d_{\text{nau-Sol}}} = 0.$$
Llavors, l’energia cinètica necessària per escapar és:
$$E_c = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{G M_{\text{Sol}} m}{d_{\text{nau-Sol}}}.$$
Càlcul de la velocitat d’escapament
La velocitat d’escapament es calcula com:
$$v_{\text{esc}} = \sqrt{2 G \frac{M_{\text{Sol}}}{d_{\text{nau-Sol}}}}.$$
Substituint els valors coneguts:
$$v_{\text{esc}} = \sqrt{2 \times 6,67 \times 10^{-11} \times \frac{1,989 \times 10^{30}}{740 \times 10^9}} = 1,89 \times 10^4 \text{ m/s}.$$
Com que la velocitat de la Voyager és inferior a la velocitat d’escapament, no pot escapar del Sol abans d’interaccionar amb Júpiter.
Càlcul de l’energia subministrada per Júpiter
L’energia que ha de subministrar Júpiter ha de ser suficient per fer que l’energia mecànica total sigui zero:
$$E_M = 0 = \frac{1}{2} m v^2 – \frac{G M_{\text{Sol}} m}{r_{\text{Júp}}} + E_{\text{Júp}}.$$
D’aquesta expressió, es pot obtenir:
$$E_{\text{Júp}} = \frac{G M_{\text{Sol}} m}{r_{\text{Júp}}} – \frac{1}{2} m v^2.$$
Substituint les dades:
$$E_{\text{Júp}} = 6,67 \times 10^{-11} \times \frac{720 \times 1,989 \times 10^{30}}{740 \times 10^9} – \frac{1}{2} \times 720 \times (8,08 \times 10^3)^2.$$
$$E_{\text{Júp}} = 1,05 \times 10^{11} \text{ J}.$$