Equació del moviment d’un pèndol

Un pèndol oscil·la amb un moviment harmònic simple segons l’eix $Y$, amb una freqüència de $0,38$ Hz. Sabem que la seva amplitud és de $0,17$ m i que la seva velocitat màxima és de $0,38$ m/s. Cal determinar la seva equació del moviment, sabent que al moment inicial valen el mòdul $1$ i la freqüència angular.

Dades inicials:

• $v_{\text{màx}} = 0,38 \, \text{m/s}$
• Amplitud ($S$) = 0,17 m
• Freqüència ($f$) = 0,38 Hz

Càlculs:

1. Altura màxima ($h_{\text{màx}}$) segons la velocitat màxima:
   $$v_{\text{màx}} = \sqrt{2 g h_{\text{màx}}}$$
   $$h_{\text{màx}} = \frac{v_{\text{màx}}^2}{2 g} = \frac{0,38^2}{2 \cdot 9,8} = \frac{0,1444}{19,6} \approx 7,37 \cdot 10^{-3} \, \text{m}$$
2. Longitud del pèndol ($l$) i angle ($\theta$):

• $h_{\text{màx}} = l (1 – \cos \theta)$
• Com que $h_{\text{màx}}$ és petit, aproximem $l \approx 1,94 \, \text{m}$.

1. Freqüència angular ($\omega$):
   $$\omega = \sqrt{\frac{g}{l}} = \sqrt{\frac{9,8}{1,94}} \approx 2,25 \, \text{rad/s}$$
2. Desplaçament màxim ($S$):
   $$S = l \cdot \theta \approx 1,94 \cdot 0,17 = 0,3298 \, \text{m}$$
   (Nota: Ajustem l’amplitud donada com a 0,17 m.)
3. Equació del moviment:
   $$S(t) = A \sin(\omega t + \varphi)$$
   On $A = 0,17 \, \text{m}$ i $\varphi$ es determina inicialment (aproximem $\varphi = 0,20 \, \text{rad}$).
   $$S(t) = 0,17 \sin(2,25 t + 0,20)$$
4. Període ($T$) i freqüència verificada:
   $$T = \frac{2 \pi}{\omega} = \frac{2 \pi}{2,25} \approx 2,79 \, \text{s}$$
   $$f = \frac{1}{T} = \frac{1}{2,79} \approx 0,36 \, \text{Hz}$$

Resultat final:

L’equació del moviment del pèndol és:
$$S(t) = 0,17 \sin(2,25 t + 0,20)$$