Optimització de l’àrea d’una finestra amb forma de rectangle i semicercle amb perímetre fix

La part baixa d’una finestra és rectangular i la superior és un semicercle. Si disposem de $12$ metres de material per construir el seu perímetre, quines han de ser les dimensions de la finestra perquè entri la màxima quantitat de llum possible?

Sigui $w$ l’amplada de la base del rectangle i $h$ l’alçada del rectangle. La part superior de la finestra és un semicercle amb radi $r$, i com que el diàmetre coincideix amb l’amplada:

\begin{equation}
r = \frac{w}{2}
\end{equation}

El perímetre inclou les dues alçades del rectangle, la base inferior i l’arc del semicercle:

\begin{equation}
P = 2h + w + \frac{\pi w}{2} = 12
\end{equation}

Resolem per $h$:

\begin{equation}
2h = 12 – w\left(1 + \frac{\pi}{2}\right) \quad \Rightarrow \quad h = \frac{12 – w\left(1 + \frac{\pi}{2}\right)}{2}
\end{equation}

L’àrea total és la suma de l’àrea del rectangle i la del semicercle:

\begin{equation}
A(w) = wh + \frac{\pi w^2}{8}
\end{equation}

Substituïm $h$:

\begin{equation}
A(w) = w \cdot \frac{12 – w\left(1 + \frac{\pi}{2}\right)}{2} + \frac{\pi w^2}{8}
\end{equation}

\begin{equation}
A(w) = \frac{12w – w^2\left(1 + \frac{\pi}{2}\right)}{2} + \frac{\pi w^2}{8}
\end{equation}

Posem denominador comú:

\begin{equation}
A(w) = \frac{48w – 4w^2\left(1 + \frac{\pi}{2}\right) + \pi w^2}{8}
\end{equation}

\begin{equation}
A(w) = \frac{48w – (4 + \pi)w^2}{8}
\end{equation}

Optimització

Derivem per trobar el màxim:

\begin{equation}
A'(w) = 6 – \frac{(4 + \pi)}{4}w
\end{equation}

Igualem a zero:

\begin{equation}
6 – \frac{(4 + \pi)}{4}w = 0 \quad \Rightarrow \quad w = \frac{24}{4 + \pi}
\end{equation}

Calculem $h$:

\begin{equation}
h = \frac{12 – \frac{24}{4 + \pi}\left(1 + \frac{\pi}{2}\right)}{2}
= \frac{24}{2(4 + \pi)} = \frac{12}{4 + \pi}
\end{equation}

I el radi:

\begin{equation}
r = \frac{w}{2} = \frac{12}{4 + \pi}
\end{equation}

Verificació

La segona derivada és:

\begin{equation}
A”(w) = -\frac{4 + \pi}{4} < 0
\end{equation}

Per tant, és un màxim local.

Resultats finals

Les dimensions òptimes són:

\begin{equation}
w = \frac{24}{4 + \pi} \approx 3.362 \, \text{m}, \quad h = \frac{12}{4 + \pi} \approx 1.681 \, \text{m}, \quad r = \frac{12}{4 + \pi} \approx 1.681 \, \text{m}
\end{equation}

Aquestes mesures maximitzen l’àrea de la finestra i, per tant, la quantitat de llum que pot deixar entrar.