Anàlisi d’una aplicació lineal mitjançant la seva matriu associada: càlcul del nucli i la imatge

Les aplicacions lineals són funcions entre espais vectorials que conserven l’estructura lineal. Cada aplicació lineal pot representar-se mitjançant una matriu associada, la qual facilita el càlcul de propietats com el nucli i la imatge.

Definició de l’aplicació

Considerem l’aplicació lineal $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ definida per: $$f(x, y, z) = (2x + y, y + z)$$

Matriu associada

Per obtenir la matriu associada a $f$ en les bases canòniques de $\mathbb{R}^3$ i $\mathbb{R}^2$, calculem les imatges dels vectors base de R3\mathbb{R}^3:

• $f(1, 0, 0) = (2, 0)$
• $f(0, 1, 0) = (1, 1)$
• $f(0, 0, 1) = (0, 1)$

Així, la matriu associada $A$ és: $$A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$$

Càlcul del nucli

El nucli de $f$, denotat $\ker(f)$, és el conjunt de vectors de $\mathbb{R}^3$ que s’envien al vector zero de $\mathbb{R}^2$: $$\ker(f) = \{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid f(x, y, z) = (0, 0) \}$$

Resolent el sistema:$$\begin{cases} 2x + y = 0 \\ y + z = 0 \end{cases}$$

• $y = -2x$
• $z = 2x$

Per tant, el nucli és: $$\ker(f) = \{ x \cdot (1, -2, 2) \mid x \in \mathbb{R} \}$$

És un subespai de dimensió $1$ generat pel vector $(1, -2, 2)$.

Càlcul de la imatge

La imatge de $f$, denotada $\operatorname{Im}(f)$, és el subespai de $\mathbb{R}^2$ generat per les columnes de la matriu associada: $$\operatorname{Im}(f) = \operatorname{span}\{ (2, 0), (1, 1), (0, 1) \}$$

Observem que:

• $(1, 1) = \frac{1}{2}(2, 0) + \frac{1}{2}(0, 1)$

Així, $(1, 1)$ és combinació lineal de $(2, 0)$ i $(0, 1)$. Per tant, la imatge és: $$\operatorname{Im}(f) = \operatorname{span}\{ (2, 0), (0, 1) \}$$

És un subespai de dimensió $2$, que coincideix amb $\mathbb{R}^2$.

Teorema de la dimensió

El teorema de la dimensió estableix que: $$\dim(\ker(f)) + \dim(\operatorname{Im}(f)) = \dim(\mathbb{R}^3) = 3$$

En aquest cas:

• $\dim(\ker(f)) = 1$
• $\dim(\operatorname{Im}(f)) = 2$

La suma és $3$, com s’esperava.

Conclusió

L’anàlisi de l’aplicació lineal $f(x, y, z) = (2x + y, y + z)$ mitjançant la seva matriu associada ens ha permès determinar que:

• El nucli és un subespai de dimensió $1$ generat per $(1, -2, 2)$.
• La imatge és tot $\mathbb{R}^2$, amb dimensió $2$.