Distribuția normală. Soldați

Distribuția normală. Soldați
3 de juliol de 2024 No hi ha comentaris General Oscar Alex Fernandez Mora

Greutățile a 2.000 de soldați prezintă o distribuție normală cu o medie de 75 kg și o abatere standard de 8 kg. Găsiți probabilitatea ca un soldat ales aleatoriu să cântărească: a) mai mult de 71 kg; b) între 73 și 79 kg; c) mai puțin de 80 kg; d) mai mult de 85 kg.

Putem folosi distribuția normală pentru a rezolva această problemă, știind că media este $\mu = 75$ kg și abaterea standard este $\sigma = 8$ kg.

a) Probabilitatea ca un soldat ales aleatoriu să cântărească mai mult de $71$ kg este:

$$P(X > 71) = 1 – P(X \leq 71)$$

unde $X$ este variabila aleatorie care reprezintă greutatea soldaților.

Folosind tabelul de distribuție normală standard sau un calculator care are această funcție, putem obține că probabilitatea cumulată pentru $Z = \frac{71-75}{8} = -0.5$ este $P(Z \leq -0.5) = 0.3085$. Prin urmare,

$$P(X > 71) = 1 – P(X \leq 71) = 1 – P(Z \leq -0.5) = 1 – 0.3085 = 0.6915$$.

Probabilitatea ca un soldat ales aleatoriu să cântărească mai mult de $71$ kg este de $69,15\%$.

b) Probabilitatea ca un soldat ales aleatoriu să cântărească între $73$ și $79$ kg este:

$$P(73 \leq X \leq 79) = P\left(\frac{73-75}{8} \leq Z \leq \frac{79-75}{8}\right)$$

Folosind tabelul de distribuție normală standard sau un calculator care are această funcție, putem obține că probabilitatea cumulată pentru $Z = (\frac{73-75}{8} = -0.25)$ este $P(Z \leq -0.25) = 0.4013$ și pentru $Z = (\frac{79-75}{8} = 0.5)$ este $P(Z \leq 0.5) = 0.6915$. Prin urmare,

$$P(73 \leq X \leq 79) = P(-0.25 \leq Z \leq 0.5) = 0.6915 – 0.4013 = 0.2902$$

Probabilitatea ca un soldat ales aleatoriu să cântărească între $73$ și $79$ kg este de $29,02\%$.

c) Probabilitatea ca un soldat ales aleatoriu să cântărească mai puțin de 80 kg este:

$$P(X < 80) = P\left(Z < \frac{80-75}{8}\right)$$

Folosind tabelul de distribuție normală standard sau un calculator care are această funcție, putem obține că probabilitatea cumulată pentru $Z = (\frac{80-75}{8} = 0.625)$ este $P(Z \leq 0.625) = 0.7357$. Prin urmare,

$$P(X < 80) = P(Z < 0.625) = 0.7357$$

Probabilitatea ca un soldat ales aleatoriu să cântărească mai puțin de $80$ kg este de $73,57\%$.

d) Probabilitatea ca un soldat ales aleatoriu să cântărească mai mult de $85$ kg este:

$$P(X > 85) = 1 – P(X \leq 85) = 1 – P\left(Z \leq \frac{85-75}{8}\right)$$

Folosind tabelul de distribuție normală standard sau un calculator care are această funcție, putem obține că probabilitatea cumulată pentru $Z = (\frac{85-75}{8} = 1.25)$ este $P(Z \leq 1.25) = 0.8944$. Prin urmare,

$$P(X > 85) = 1 – P(Z \leq 1.25) = 1 – 0.8944 = 0.1056$$

Probabilitatea ca un soldat ales aleatoriu să cântărească mai mult de $85$ kg este de $10,56\%$.


Enllaç: Distribució normal. Soldats

Tags
Sobre l'autor
Oscar Alex Fernandez Mora Etern estudiant de la Rússia tsarista. Gran aficionat als destil·lats i als fermentats. Malaltís de llibres de la MIR i entusiasta del #LaTeX. Soci de l’ACBC. Important actiu del projecte Campana de Gauss

Leave a reply

L'adreça electrònica no es publicarà. Els camps necessaris estan marcats amb *