LEMNISCATA
Matemàtiques
Greutățile a 2.000 de soldați prezintă o distribuție normală cu o medie de 75 kg și o abatere standard de 8 kg. Găsiți probabilitatea ca un soldat ales aleatoriu să cântărească: a) mai mult de 71 kg; b) între 73 și 79 kg; c) mai puțin de 80 kg; d) mai mult de 85 kg.
Putem folosi distribuția normală pentru a rezolva această problemă, știind că media este $\mu = 75$ kg și abaterea standard este $\sigma = 8$ kg.
a) Probabilitatea ca un soldat ales aleatoriu să cântărească mai mult de $71$ kg este:
$$P(X > 71) = 1 – P(X \leq 71)$$
unde $X$ este variabila aleatorie care reprezintă greutatea soldaților.
Folosind tabelul de distribuție normală standard sau un calculator care are această funcție, putem obține că probabilitatea cumulată pentru $Z = \frac{71-75}{8} = -0.5$ este $P(Z \leq -0.5) = 0.3085$. Prin urmare,
$$P(X > 71) = 1 – P(X \leq 71) = 1 – P(Z \leq -0.5) = 1 – 0.3085 = 0.6915$$.
Probabilitatea ca un soldat ales aleatoriu să cântărească mai mult de $71$ kg este de $69,15\%$.
b) Probabilitatea ca un soldat ales aleatoriu să cântărească între $73$ și $79$ kg este:
$$P(73 \leq X \leq 79) = P\left(\frac{73-75}{8} \leq Z \leq \frac{79-75}{8}\right)$$
Folosind tabelul de distribuție normală standard sau un calculator care are această funcție, putem obține că probabilitatea cumulată pentru $Z = (\frac{73-75}{8} = -0.25)$ este $P(Z \leq -0.25) = 0.4013$ și pentru $Z = (\frac{79-75}{8} = 0.5)$ este $P(Z \leq 0.5) = 0.6915$. Prin urmare,
$$P(73 \leq X \leq 79) = P(-0.25 \leq Z \leq 0.5) = 0.6915 – 0.4013 = 0.2902$$
Probabilitatea ca un soldat ales aleatoriu să cântărească între $73$ și $79$ kg este de $29,02\%$.
c) Probabilitatea ca un soldat ales aleatoriu să cântărească mai puțin de 80 kg este:
$$P(X < 80) = P\left(Z < \frac{80-75}{8}\right)$$
Folosind tabelul de distribuție normală standard sau un calculator care are această funcție, putem obține că probabilitatea cumulată pentru $Z = (\frac{80-75}{8} = 0.625)$ este $P(Z \leq 0.625) = 0.7357$. Prin urmare,
$$P(X < 80) = P(Z < 0.625) = 0.7357$$
Probabilitatea ca un soldat ales aleatoriu să cântărească mai puțin de $80$ kg este de $73,57\%$.
d) Probabilitatea ca un soldat ales aleatoriu să cântărească mai mult de $85$ kg este:
$$P(X > 85) = 1 – P(X \leq 85) = 1 – P\left(Z \leq \frac{85-75}{8}\right)$$
Folosind tabelul de distribuție normală standard sau un calculator care are această funcție, putem obține că probabilitatea cumulată pentru $Z = (\frac{85-75}{8} = 1.25)$ este $P(Z \leq 1.25) = 0.8944$. Prin urmare,
$$P(X > 85) = 1 – P(Z \leq 1.25) = 1 – 0.8944 = 0.1056$$
Probabilitatea ca un soldat ales aleatoriu să cântărească mai mult de $85$ kg este de $10,56\%$.
Enllaç: Distribució normal. Soldats