La Terra com a planeta que forma part del sistema solar

La Terra com a planeta que forma part del sistema solar, on es comporta com un sòlid rígid, presenta els moviments de rotació, translació, precessió i rotació. En aquesta activitat ens basarem en el moviment de rotació de la Terra, que consisteix en la rotació del planeta al voltant del seu eix; aquest gira cap a l’est, vist des de l’estrella Polar, i en sentit antihorari. Una volta sencera en relació amb les estrelles fixes dura $23$ h $56$ min $4$ s. Aquesta rotació es va alentint al llarg dels anys per diferents causes, per tant modifica el seu moment angular i, a causa de la llei de conservació del moment angular, també el període de rotació. Si la massa aproximada de la Terra és de $5,97\cdot10^{24}$ kg, el seu radi mitja és de $6370$ km, el període de rotació és aproximadament de $24$ h i suposem que la Terra és esfèrica, calculeu:
a) El volum de la Terra i la seva densitat.
b) La velocitat angular.
c) El moment d’inèrcia.
d) El moment angular.

a) Volum de la Terra i la seva densitat

Volum de la Terra:
La Terra té una forma aproximada d’una esfera, així que podem utilitzar la fórmula del volum d’una esfera:

$$V = \frac{4}{3} \pi r^3$$

On $r$ és el radi de la Terra. El radi mitjà de la Terra és $6370$ km.

Convertim el radi a metres:

$$r = 6370 \times 10^3 \, \text{m}$$

Ara, calculem el volum:

$$V = \frac{4}{3} \pi (6370 \times 10^3)^3$$

$$V \approx \frac{4}{3} \pi (2.583 \times 10^{20}) \, \text{m}^3$$

$$V \approx 1.083 \times 10^{21} \, \text{m}^3$$

Densitat de la Terra:
La densitat es defineix com la massa dividida pel volum:

$$\rho = \frac{m}{V}$$

On $m$ és la massa de la Terra, $5.97 \times 10^{24} \, \text{kg}$, i $V$ és el volum que acabem de calcular.

$$\rho = \frac{5.97 \times 10^{24} \, \text{kg}}{1.083 \times 10^{21} \, \text{m}^3}$$

$$\rho \approx 5514 \, \text{kg/m}^3$$

b) Velocitat angular

La velocitat angular $\omega$ es pot calcular utilitzant la relació entre el període de rotació $T$ i la velocitat angular:

$$\omega = \frac{2\pi}{T}$$

Donat que el període de rotació és de $24$ hores (aproximadament):

Convertim el període de rotació a segons:

$$T = 24 \times 3600 \, \text{s} = 86400 \, \text{s}$$

Ara, calculem la velocitat angular:

$$\omega = \frac{2\pi}{86400}$$

$$\omega \approx 7.272 \times 10^{-5} \, \text{rad/s}$$

c) Moment d’inèrcia

El moment d’inèrcia $I$ d’una esfera sòlida uniforme girant al voltant d’un eix que passa pel seu centre es calcula amb la fórmula:

$$I = \frac{2}{5} m r^2$$

On $m$ és la massa de la Terra i $r$ és el radi de la Terra.

$$I = \frac{2}{5} \times 5.97 \times 10^{24} \, \text{kg} \times (6370 \times 10^3 \, \text{m})^2$$

$$I = \frac{2}{5} \times 5.97 \times 10^{24} \times 4.058 \times 10^{13}$$

$$I \approx 9.72 \times 10^{37} \, \text{kg} \cdot \text{m}^2$$

d) Moment angular

El moment angular $L$ es calcula utilitzant la fórmula:

$$L = I \omega$$

On $I$ és el moment d’inèrcia i $\omega $ és la velocitat angular.

$$L \approx 9.72 \times 10^{37} \, \text{kg} \cdot \text{m}^2 \times 7.272 \times 10^{-5} \, \text{rad/s}$$

$$L \approx 7.07 \times 10^{33} \, \text{kg} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{s}^{-1}$$

Així doncs, les respostes als apartats són:

a) Volum de la Terra: $1.083 \times 10^{21} \, \text{m}^3$, Densitat: $5514 \, \text{kg/m}^3$.

b) Velocitat angular: $7.272 \times 10^{-5} \, \text{rad/s}$.

c) Moment d’inèrcia: $9.72 \times 10^{37} \, \text{kg} \cdot \text{m}^2$.

d) Moment angular: $7.07 \times 10^{33} \, \text{kg} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{s}^{-1}$.