Distribució normal. Soldats

Els pesos de $2 000$ soldats presenten una distribució normal de mitjana $75$ kg i desviació típica $8$ kg. Troba la probabilitat que un soldat elegit a l’atzar malgrat: a) més de $71$ kg. b) entre $73$ i $79$ kg. c) menys de $80$ kg. d) més de $85$ kg.

Podem utilitzar la distribució normal per resoldre aquest problema, sabent que la mitjana és $\mu = 75$ kg i la desviació típica és $\sigma = 8$ kg.

a) La probabilitat que un soldat elegit a l’atzar pesi més de $71$ kg és:

$$P(X > 71) = 1 – P(X \leq 71)$$

on $X$ és la variable aleatòria que representa el pes dels soldats.

Utilitzant la taula de la distribució normal estàndard o una calculadora que tingui aquesta funció, podem obtenir que la probabilitat acumulada per a $Z = \frac{71-75}{8} = -0.5$ és $P(Z \leq -0.5) = 0.3085$. Per tant,

$$P(X > 71) = 1 – P(X \leq 71) = 1 – P(Z \leq -0.5) = 1 – 0.3085 = 0.6915$$.

La probabilitat que un soldat elegit a l’atzar pesi més de 71 kg és del 69,15%.

b) La probabilitat que un soldat elegit a l’atzar malgrat entre 73 i 79 kg és:

$$P(73 \leq X \leq 79) = P\left(\frac{73-75}{8} \leq Z \leq \frac{79-75}{8}\right)$$

Utilitzant la taula de la distribució normal estàndard o una calculadora que tingui aquesta funció, podem obtenir que la probabilitat acumulada per a $Z = \frac{73-75}{8} = -0.25$ és $P(Z \leq -0.25) = 0.4013$ i per $Z = \frac{79-75}{8} = 0.5$ és $P(Z \leq 0.5) = 0.6915$. Per tant,

$$P(73 \leq X \leq 79) = P(-0.25 \leq Z \leq 0.5) = 0.6915 – 0.4013 = 0.2902$$

La probabilitat que un soldat elegit a l’atzar pesi entre 73 i 79 kg és del 29,02%.

c) La probabilitat que un soldat elegit a l’atzar pesi menys de 80 kg és:

$$P(X < 80) = P\left(Z < \frac{80-75}{8}\right)$$

Utilitzant la taula de la distribució normal estàndard o una calculadora que tingui aquesta funció, podem obtenir que la probabilitat acumulada per a $Z = \frac{80-75}{8} = 0.625$ és $P(Z \leq 0.625) = 0.7357 $. Per tant,

$$P(X < 80) = P(Z < 0.625) = 0.7357$$

La probabilitat que un soldat elegit a l’atzar pesi menys de 80 kg és del 73,57%.

d) La probabilitat que un soldat elegit a l’atzar pesi més de 85 kg és:

$$P(X > 85) = 1 – P(X \leq 85) = 1 – P\left(Z \leq \frac{85-75}{8}\right)$$

Utilitzant la taula de la distribució normal estand
ar o una calculadora que tingui aquesta funció, podem obtenir que la probabilitat acumulada per a $Z = \frac{85-75}{8} = 1.25$ és $P(Z \leq 1.25) = 0.8944$. Per tant,

$$P(X > 85) = 1 – P(Z \leq 1.25) = 1 – 0.8944 = 0.1056$$

La probabilitat que un soldat elegit a l’atzar pesi més de 85 kg és del 10,56%.