Descomposició de Matrius i Aplicació del Binomi de Newton per a Potències

Donada la matriu\[B = \begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\0 & 1 & 1 \\0 & 0 & 1\end{pmatrix}\]determina una matriu nilpotent \(X\) i una matriu escalar \(Y\) tals que \(B = X + Y\). Utilitzeu la descomposició para calcular la fórmula del binomi de Newton:\[(X + Y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} X^k Y^{n-k} \quad \text{si } X \text{ i } Y \text{ commuten}\]

La descomposició de \(B = X + Y\) és\[B = X + Y = \begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \\0 & 0 & 0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1\end{pmatrix}\]La matriu \(X\) és nilpotent perquè és estrictament triangular superior. En concret\[X^2 = \begin{pmatrix}0 & 0 & 1 \\0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0\end{pmatrix}, \quad X^3 = \begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0\end{pmatrix} = 0_3\]Totes les potències de \(X\) a partir de la tercera són nul·les ja que\[X^n = X^3 X^{n-3} = 0_3 X^{n-3} = 0_3 \quad \text{per a tot } n \geq 3\]Les matrius \(X\) i \(Y = I_3\) commuten, per la qual cosa podem utilitzar la fórmula del binomi de Newton per calcular potències:\[B^n = (X + I_3)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} X^k I_3^{n-k}\]En concret, per a \(n = 10\) tenim\[B^{10} = (X + I_3)^{10} = \sum_{k=0}^{10} \binom{10}{k} X^k I_3^{10-k} = \sum_{k=0}^{10} \binom{10}{k} X^k\]. Teniu en compte que hem demostrat que \(X^n = 0\), però podem acudir \(A^l = 0\) per a algun \(l < n\). És a dir, pot haver-hi un índex \(l\) tal que \(A^l = 0\) però \(A^{l-1} \neq 0\), cosa que simplifica el càlcul dels elements no nuls de la matriu \(A\) original.

Tenint en compte que les potències de \(X\) són totes nul·les a partir de la tercera, es té\[B^{10} = \binom{10}{0} X^0 + \binom{10}{1} X^1 + \binom{10}{2} X^2\]\[= \binom{10}{0} \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1\end{pmatrix} + \binom{10}{1} \begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \\0 & 0 & 0\end{pmatrix} + \binom{10}{2} \begin{pmatrix}0 & 0 & 1 \\0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0\end{pmatrix}\]\[= \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1\end{pmatrix} + 10 \cdot \begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \\0 & 0 & 0\end{pmatrix} + 10 \cdot 9 \begin{pmatrix}0 & 0 & 1 \\0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0\end{pmatrix}\]\[= \begin{pmatrix}1 & 10 & 45 \\0 & 1 & 10 \\0 & 0 & 1\end{pmatrix}\]