Cost anual de la neteja de les instal·lacions d’una empresa

El cost anual de la neteja de les instal·lacions d’una empresa que va obrir fa 20 anys, expressat en centenars d’euros, és donat per la funció \[C(t) = \begin{cases} \frac{t^2}{10} + 10, & \text{si } t \in [0,10] \\ 28 – \frac{(t-14)^2}{2}, & \text{si } t \in (10,20]\end{cases}\] en què \( t \) és el temps expressat en anys. a) Quin va ser el cost de la neteja de l’empresa en el moment d’obrir? I al cap de 10 anys de funcionament? Comproveu que en aquest punt la funció és contínua. Quin és el cost de la neteja de l’empresa al cap de 20 anys de funcionament?

a) Càlcul del cost en diferents moments:

1. En el moment d’obrir (\( t = 0 \)): La funció aplicable és \( C(t) = \frac{t^2}{10} + 10 \), ja que \( t \in [0,10] \). Substituint \( t = 0 \): \[ C(0) = \frac{0^2}{10} + 10 = 0 + 10 = 10 \] Per tant, el cost en el moment d’obrir és 10 centenars d’euros, és a dir, 1000 euros.

2. Al cap de 10 anys (\( t = 10 \)): La funció aplicable encara és \( C(t) = \frac{t^2}{10} + 10 \), ja que \( t = 10 \) pertany a l’interval \( [0,10] \). Substituint \( t = 10 \): \[ C(10) = \frac{10^2}{10} + 10 = \frac{100}{10} + 10 = 10 + 10 = 20 \] Per tant, el cost al cap de 10 anys és 20 centenars d’euros, és a dir, 2000 euros.

3. Comprovació de la continuïtat en \( t = 10 \): Perquè la funció sigui contínua en \( t = 10 \), el límit per l’esquerra i per la dreta han de ser iguals al valor de la funció en aquest punt.

• Límit per l’esquerra (\( t \to 10^- \)): Utilitzem la primera part de la funció \( C(t) = \frac{t^2}{10} + 10 \): \[ \lim_{t \to 10^-} C(t) = \lim_{t \to 10^-} \left( \frac{t^2}{10} + 10 \right) = \frac{10^2}{10} + 10 = 20 \]

• Límit per la dreta (\( t \to 10^+ \)): Utilitzem la segona part de la funció \( C(t) = 28 – \frac{(t-14)^2}{2} \), ja que \( t \in (10,20] \): \[ \lim_{t \to 10^+} C(t) = \lim_{t \to 10^+} \left( 28 – \frac{(t-14)^2}{2} \right) = 28 – \frac{(10-14)^2}{2} = 28 – \frac{(-4)^2}{2} = 28 – \frac{16}{2} = 28 – 8 = 20 \]

• Valor de la funció en \( t = 10 \): Ja hem calculat \( C(10) = 20 \). Com que el límit per l’esquerra (20), el límit per la dreta (20) i el valor de la funció en \( t = 10 \) (20) coincideixen, la funció és contínua en \( t = 10 \).

4. Al cap de 20 anys (\( t = 20 \)): La funció aplicable és \( C(t) = 28 – \frac{(t-14)^2}{2} \), ja que \( t = 20 \) pertany a l’interval \( (10,20] \). Substituint \( t = 20 \): \[ C(20) = 28 – \frac{(20-14)^2}{2} = 28 – \frac{6^2}{2} = 28 – \frac{36}{2} = 28 – 18 = 10 \] Per tant, el cost al cap de 20 anys és 10 centenars d’euros, és a dir, 1000 euros.

Resum de les respostes:

• Cost en el moment d’obrir (\( t = 0 \)): 1000 euros.

• Cost al cap de 10 anys (\( t = 10 \)): 2000 euros.

• Continuïtat en \( t = 10 \): Sí, la funció és contínua.

• Cost al cap de 20 anys (\( t = 20 \)): 1000 euros.