Determinació de l’Equació d’una Corba amb Tangents a Angle Constant de 45 Graus

Determineu l’equació d’una corba que passa per (1,0), sabent que les seves rectes tangents formen un angle constant de 45 graus amb les rectes que passen per (0,0). Un cop trobada, passeu-la a coordenades polars i dibuixeu-la.

Les rectes que passen per (0,0) són de la forma \( y = mx \). Si denotem per \( \alpha \) l’angle que forma la recta amb l’eix d’abscisses, sabem que \( m = \tan \alpha \), o, equivalentment, \( \tan \alpha = y/x \).Si \( \beta \) és l’angle que forma la recta tangent a la corba que busquem en el punt \( (x,y) \), aleshores sabem que el pendent d’aquesta recta és \( \tan \beta \). Però, a més, \( \tan \beta \) serà \( y’ \), la derivada respecte a \( x \).L’angle que formen dues rectes en el punt on es tallen és el valor absolut de la diferència entre els angles que formen ambdues rectes amb l’eix d’abscisses. Per tant, l’angle, segons que \( \alpha – \beta \) sigui positiu o negatiu, es farà servir la fórmula de la tangent d’un angle:\[\tan (\alpha – \beta) = \frac{\tan \alpha – \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}.\]Volem que \( \alpha – \beta = 45^\circ \) o que \( \beta – \alpha = 45^\circ \). Analitzem el primer cas. L’altra és la forma analògica.La corba que busquem ha de complir la condició següent:\[1 = \frac{\frac{y}{x} – y’}{1 + \frac{y}{x} y’}.\]Operant i aïllant \( y’ \) a l’expressió anterior, s’obté l’equació diferencial homogènia \( (y’ \) de grau 0) següent:\[y'(x) = \frac{y – x}{y + x}.\]Per resoldre-la, fem el canvi de variable \( u = y/x \). Aleshores, l’equació diferencial es transforma en\[u’ = \frac{u^2 + 1}{u + 1},\]que és de variables separades i s’integra fàcilment:\[\arctan u + \frac{1}{2} \ln (u^2 + 1) = -\ln x + C.\]Desfem ara el canvi de variable i n’obtenim\[\arctan \frac{y}{x} + \ln \sqrt{x^2 + y^2} = C,\]on \( C \) és una constant arbitrària. Imposant la condició que la corba passi pel punt \( (1,0) \), la corba immediatament \( C = 0 \).Per passar la corba a polars, posem \( r = \sqrt{x^2 + y^2} \) i \( \theta = \arctan (y/x) \), de manera que en l’equació és \( \ln r + \theta = 0 \), d’on resulta \( r = e^{-\theta} \). La gràfica d’aquesta funció té l’aspecte de la figura.