Creixement Exponencial de Bacteris: Temps per Quintuplicar una Colònia

Una determinada colònia de bacteris té inicialment \( x_0 \) individus. En períodes curts de temps, el ritme de creixement és proporcional al nombre d’individus present en cada instant. Si la colònia triga 2 hores a triplicar-se, calculeu el temps necessari per quintuplicar-se.

La dinàmica d’aquesta població es pot analitzar a partir de l’equació diferencial\[\frac{dx}{dt} = kx, \quad \text{amb} \ x(0) = x_0.\]Observem que \( k > 0 \) perquè hi ha creixement. Integrem el problema de Cauchy i n’obtenim\[x(t) = x_0 e^{kt}.\]La hipòtesi és \( x(2) = 3x_0 \); volem trobar el temps \( t \) tal que \( x(t) = 5x_0 \).

Imposem la condició \( x(2) = 3x_0 \) per calcular la constant de proporcionalitat \( k \):\[3x_0 = x_0 e^{2k} \implies 2k = \ln 3 \implies k = \frac{\ln 3}{2} \simeq 0’5493 > 0.\]D’aquí tenim\[x(t) = x_0 e^{0’5493t},\]que és la relació entre el temps i la quantitat de bacteris. A la figura 3.11, en veiem l’evolució en el cas particular \( x_0 = 50 \). Si volem \( x(t) = 5x_0 \), ha de complir-se \( 5x_0 = x_0 e^{0’5493t} \) i llavors\[0’5493t = \ln 5 \implies t = \frac{\ln 5}{0’5493} \simeq 2’93 \text{ hores}.\]Per tant, podem concloure que han de passar 2 h 55 min 48 s perquè hi hagi \( 5x_0 \) bacteris.