Verificació i Resolució d’una Equació Diferencial Ordinària

Comproveu que $y = y(x) = Ce^{-2x} + \frac{1}{3}e^x$ és solució de $y’ + 2y = e^x$. Trobeu la solució de l’equació donada tal que $y(0) = 1$.

Per comprovar que $y = y(x) = Ce^{-2x} + \frac{1}{3}e^x$ és solució de $y’ + 2y = e^x$, hem de substituir aquesta expressió i la seva derivada en l’EDO i verificar la igualtat.

(1) $y = y(x) = Ce^{-2x} + \frac{1}{3}e^x$

$$y’ + 2y = e^x$$

Substitueix $y’$

$$y’ + 2y = 2Ce^{-2x} + \frac{1}{3}e^x + 2\left( Ce^{-2x} + \frac{1}{3}e^x \right) = e^x \implies e^x = e^x \quad \text{OK!}$$

(2) $y(0) = 1 \implies y(0) = Ce^{-2 \cdot 0} + \frac{1}{3}e^0 = 1 \implies C + \frac{1}{3} = 1 \implies C = 1 – \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

Solució particular: $y = \frac{2}{3}e^{-2x} + \frac{1}{3}e^x$