Càlcul de l’altura màxima d’una pedra llançada verticalment enlaire

Si tirem una pedra enlaire, verticalment, a quina altura arriba? Considereu la pedra com un punt, i només actuant el camp gravitatori.

La funció que descriu el moviment és: $x \rightarrow x(t) \rightarrow \text{posició (alçada) de la pedra en l’instant } t$.

L’equació plantejada és: $F = ma \Rightarrow -mg = ma \Rightarrow a = \frac{d^2x}{dt^2} = -g \Rightarrow \frac{dx}{dt} = -gt + K_1 \Rightarrow x = x(t) = -\frac{1}{2}gt^2 + K_1 t + K_2$

S’han de verificar les condicions:

$$\begin{cases}
x(0) = 0 \Rightarrow K_2 = 0 \\
v(0) = \frac{dx}{dt}(0) = v_0 \Rightarrow v_0 = K_1
\end{cases}$$

Per tant: $x(t) = -\frac{1}{2}gt^2 + v_0 t$

L’altura màxima s’assoleix quan $v(t) = 0 \Rightarrow -gt + v_0 = 0 \Rightarrow v_0 = gt \Rightarrow t = \frac{v_0}{g}$, instant en què s’assoleix l’altura màxima:

$$x\left(\frac{v_0}{g}\right) = -\frac{1}{2}g \left(\frac{v_0}{g}\right)^2 + v_0 \left(\frac{v_0}{g}\right) = -\frac{1}{2} \frac{v_0^2}{g} + \frac{v_0^2}{g} = \frac{1}{2} \frac{v_0^2}{g}$$

La solució és $\frac{1}{2} \frac{v_0^2}{g}$, essent $v_0$ la velocitat inicial i $g$ la gravitació.