Resolució d’una equació diferencial exacta amb variables x i y

Resoleu l’equació diferencial: $$\left( x^2 + \frac{y}{x} \right) dx + (\ln x + 2y) dy = 0,$$ suposant que $x > 0$.

Pas 1: Comprovar si l’equació és exacta

Una equació diferencial de la forma $M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0$ és exacta si $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$.

Identifiquem $M(x,y)$ i $N(x,y)$:

• $M(x,y) = x^2 + \frac{y}{x}$,
• $N(x,y) = \ln x + 2y$.

Calculem les derivades parcials:

• $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( x^2 + \frac{y}{x} \right) = 0 + \frac{1}{x} = \frac{1}{x}$,
• $\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (\ln x + 2y) = \frac{1}{x} + 0 = \frac{1}{x}$.

Com que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{x}$, l’equació és exacta.

Pas 2: Trobar la funció potencial $\phi(x,y)$

Sabem que si l’equació és exacta, existeix una funció $\phi(x,y)$ tal que:

• $\frac{\partial \phi}{\partial x} = M(x,y) = x^2 + \frac{y}{x}$,
• $\frac{\partial \phi}{\partial y} = N(x,y) = \ln x + 2y$.

Integrem $M(x,y)$ respecte a $x$, tractant $y$ com a constant:
$$\phi(x,y) = \int \left( x^2 + \frac{y}{x} \right) dx = \int x^2 dx + \int \frac{y}{x} dx.$$

• $\int x^2 dx = \frac{x^3}{3}$,
• $\int \frac{y}{x} dx = y \int \frac{1}{x} dx = y \ln x$, ja que $y$ és constant respecte a $x$.

Per tant:
$$\phi(x,y) = \frac{x^3}{3} + y \ln x + C(y),$$
on $C(y)$ és una funció que només depèn de $y$.

Derivem $\phi(x,y)$ respecte a $y$ i igualem a $N(x,y)$:
$$\frac{\partial \phi}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{x^3}{3} + y \ln x + C(y) \right) = \ln x + C'(y).$$
Igualem a $N(x,y) = \ln x + 2y$:
$$\ln x + C'(y) = \ln x + 2y.$$
Això implica:
$$C'(y) = 2y.$$
Integrem $C'(y)$ respecte a $y$:
$$C(y) = \int 2y \, dy = y^2 + C,$$
on $C$ és una constant. Substituïm $C(y)$ a $\phi(x,y)$:
$$\phi(x,y) = \frac{x^3}{3} + y \ln x + y^2 + C.$$

Pas 3: Solució de l’equació diferencial

Com que $\phi(x,y) = C$ és la solució d’una equació exacta, tenim:
$$\frac{x^3}{3} + y \ln x + y^2 = k,$$
on $k$ és una constant (absorbim $C$ dins de $k$).

Resposta final

La solució de l’equació diferencial és:
$$\boxed{\frac{x^3}{3} + y \ln x + y^2 = k}$$