Problema camp gravitatori

A quina altura ha d’estar un cos perquè el seu pes sigui la meitat del que pesa a la superfície de la Terra? \( R_{\text{Terra}} = 6370 \, \text{km} \)

D’acord amb l’enunciat, el pes a una altura \( h \) és la meitat del pes a la superfície. Plantegem les expressions del pes a la superfície i a una altura determinada, \( h \):\[P_{\text{superfície}} = m_{\text{cos}} \cdot g_{\text{superfície}} = m_{\text{cos}} \cdot \frac{G \cdot m_{\text{Terra}}}{R_{\text{Terra}}^2}\]\[P_h = \frac{P_{\text{superfície}}}{2} = m_{\text{cos}} \cdot g_h = m_{\text{cos}} \cdot \frac{G \cdot m_{\text{Terra}}}{(R_{\text{Terra}} + h)^2}\]Aquestes equacions constitueixen un sistema d’equacions no lineal amb dues incògnites (\( P_{\text{superfície}} \) i \( h \)). Aquest sistema és no lineal perquè una de les incògnites està elevada al quadrat. Es pot resoldre dividint entre elles les equacions, ja que d’aquesta manera s’elimina una de les incògnites. En efecte:\[\frac{P_{\text{superfície}}}{P_{\text{superfície}}/2} = \frac{m_{\text{cos}} \cdot \frac{G \cdot m_{\text{Terra}}}{R_{\text{Terra}}^2}}{m_{\text{cos}} \cdot \frac{G \cdot m_{\text{Terra}}}{(R_{\text{Terra}} + h)^2}} \implies 2 = \frac{(R_{\text{Terra}} + h)^2}{R_{\text{Terra}}^2} \implies 2 \cdot R_{\text{Terra}}^2 = (R_{\text{Terra}} + h)^2\]Per eliminar l’exponent quadrat, resolem l’arrel quadrada dels dos termes. Després, aïllem \( h \) i en calculem el valor:\[\sqrt{2} \cdot R_{\text{Terra}}^2 = \sqrt{(R_{\text{Terra}} + h)^2} \implies \sqrt{2} \cdot R_{\text{Terra}} = R_{\text{Terra}} + h\]\[h = \sqrt{2} \cdot R_{\text{Terra}} – R_{\text{Terra}} = R_{\text{Terra}} (\sqrt{2} – 1) = 6370 \, \text{km} \cdot 0,414 = 2637 \, \text{km}\]