Càlcul magnituds mhs

Determina les següents magnituds per a un moviment harmònic simple (m.v.h.s.) on la velocitat en funció del temps és:\[v(t) = \frac{4\pi}{3} \cdot \cos\left(\frac{\pi}{3} t + \frac{\pi}{2}\right) \, \text{m/s}\]1. La freqüència i l’amplitud del moviment. 2. L’elongació del mòbil en funció del temps. 3. L’acceleració del mòbil en funció del temps. 4. La quantitat de l’acceleració en l’instant que el mòbil passa pel punt d’equilibri.

1. Frequència i amplitud del moviment: L’expressió de la velocitat \( v(t) \) és de la forma general:\[v(t) = A \cdot \omega \cdot \sin(\omega t + \phi)\]Comparant amb l’expressió donada:\[v(t) = \frac{4\pi}{3} \cdot \cos\left(\frac{\pi}{3} t + \frac{\pi}{2}\right)\]Utilitzant la identitat trigonomètrica \( \cos(\theta + \frac{\pi}{2}) = -\sin(\theta) \), reescrivim la velocitat:\[v(t) = – \frac{4\pi}{3} \cdot \sin\left(\frac{\pi}{3} t\right)\]Ara podem identificar les següents magnituds:- L’amplitud de la velocitat \( A_v = \frac{4\pi}{3} \).- La velocitat angular \( \omega = \frac{\pi}{3} \).Per determinar la freqüència \( f \), utilitzem la relació entre la velocitat angular i la freqüència:\[\omega = 2\pi f\]Substituïm \( \omega = \frac{\pi}{3} \):\[\frac{\pi}{3} = 2\pi f \quad \Rightarrow \quad f = \frac{1}{6} \, \text{Hz}\]Per tant, la freqüència del moviment és \( f = \frac{1}{6} \, \text{Hz} \) i l’amplitud de la velocitat és \( A_v = \frac{4\pi}{3} \, \text{m/s} \).

2. Elongació del mòbil en funció del temps: Sabem que la velocitat \( v(t) \) és la derivada de l’elongació \( x(t) \) respecte al temps:\[v(t) = \frac{d}{dt} x(t)\]L’expressió de la velocitat és:\[v(t) = -A_v \cdot \omega \cdot \sin(\omega t)\]Integrant aquesta expressió respecte al temps, obtenim l’elongació \( x(t) \):\[x(t) = A_v \cdot \cos(\omega t + \phi’)\]On \( \phi’ \) és la fase inicial de l’elongació. Com que la fase inicial en la velocitat era \( \frac{\pi}{2} \), l’elongació serà:\[x(t) = \frac{4\pi}{3} \cdot \cos\left(\frac{\pi}{3} t\right)\]Per tant, l’elongació del mòbil és:\[x(t) = \frac{4\pi}{3} \cdot \cos\left(\frac{\pi}{3} t\right) \, \text{m}\]

3. Acceleració del mòbil en funció del temps: L’acceleració \( a(t) \) es calcula com la derivada segona de l’elongació:\[a(t) = \frac{d^2}{dt^2} x(t)\]Derivem l’expressió de l’elongació per obtenir la velocitat:\[v(t) = -\frac{4\pi}{3} \cdot \frac{\pi}{3} \cdot \sin\left(\frac{\pi}{3} t\right)= -\frac{4\pi^2}{9} \cdot \sin\left(\frac{\pi}{3} t\right)\]Ara derivem la velocitat per obtenir l’acceleració:\[a(t) = -\frac{4\pi^2}{9} \cdot \frac{\pi}{3} \cdot \cos\left(\frac{\pi}{3} t\right)= -\frac{4\pi^3}{27} \cdot \cos\left(\frac{\pi}{3} t\right)\]Per tant, l’acceleració en funció del temps és:\[a(t) = -\frac{4\pi^3}{27} \cdot \cos\left(\frac{\pi}{3} t\right) \, \text{m/s}^2\]

4. Acceleració en l’instant que el mòbil passa pel punt d’equilibri: El punt d’equilibri es produeix quan l’elongació és zero, és a dir, quan:\[x(t) = 0\]Això succeeix quan:\[\cos\left(\frac{\pi}{3} t\right) = 0\]La primera vegada que això passa és quan:\[\frac{\pi}{3} t = \frac{\pi}{2} \quad \Rightarrow \quad t = \frac{3}{2} \, \text{s}\]Substituïm aquest valor de \( t \) en l’expressió de l’acceleració:\[a\left(\frac{3}{2}\right) = -\frac{4\pi^3}{27} \cdot \cos\left(\frac{\pi}{3} \cdot \frac{3}{2}\right) = -\frac{4\pi^3}{27} \cdot \cos\left(\frac{\pi}{2}\right)\]Com \( \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 \), l’acceleració en aquest instant és:\[a\left(\frac{3}{2}\right) = 0 \, \text{m/s}^2\]Per tant, l’acceleració quan el mòbil passa pel punt d’equilibri és zero.