la incertesa en la determinació de la posició

Calcular la incertesa en la determinació de la posició en els següents casos: a) Electrò: la seva velocitat, de $7000$ km/s, s’ha mesurat amb una incertesa del $0,003\%$.b) Projectil de $50$ g que es desplaça a una velocitat de $300$ m/s, mesurada amb la mateixa incertesa que en el cas anterior.(Dades: \( h = 6,63 \times 10^{-34} \, \text{J} \cdot \text{s} \), \( m_e = 9,1 \times 10^{-31} \, \text{kg} \))

El principi d’incertesa de Heisenberg estableix, entre altres consideracions, que és impossible conèixer simultàniament i amb total exactitud la posició (\( x \)) i la quantitat de moviment (\( p \)) d’una partícula, degut al caràcter dual de la matèria. Com a mínim, tindrem unes incerteses en les mesures, \( \Delta x \) i \( \Delta p \), que compleixen la desigualtat:\[\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{h}{4\pi}\]on \( h \) és la constant de Planck.—### a) **Electró:**- \( v = 7000 \, \text{km/s} = 7 \times 10^6 \, \text{m/s} \)- \( \Delta v = 7 \times 10^6 \cdot \frac{0,003}{100} = 210 \, \text{m/s} \)La quantitat de moviment del electró es calcula com:\[p = m \cdot v = 9,1 \times 10^{-31} \, \text{kg} \cdot 7 \times 10^6 \, \text{m/s} = 6,37 \times 10^{-24} \, \text{kg} \cdot \text{m/s}\]La incertesa en la quantitat de moviment serà:\[\Delta p = m \cdot \Delta v = 9,1 \times 10^{-31} \, \text{kg} \cdot 210 \, \text{m/s} = 1,911 \times 10^{-28} \, \text{kg} \cdot \text{m/s}\]Aplicant la relació d’incertesa:\[\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{h}{4\pi} \quad \Rightarrow \quad \Delta x \geq \frac{h}{4\pi \cdot \Delta p}\]\[\Delta x \geq \frac{6,63 \times 10^{-34}}{4\pi \cdot 1,911 \times 10^{-28}} \approx 2,76 \times 10^{-7} \, \text{m}\]Aquesta incertesa és important, ja que és unes 3000 vegades més gran que la mida d’un àtom. Seria equivalent a localitzar una casa, i no saber si es troba en un poble o en el del costat.—### b) **Projectil:**- \( v = 300 \, \text{m/s} \)- \( \Delta v = 300 \cdot \frac{0,003}{100} = 0,009 \, \text{m/s} \)La quantitat de moviment del projectil és:\[p = m \cdot v = 0,05 \, \text{kg} \cdot 300 \, \text{m/s} = 15 \, \text{kg} \cdot \text{m/s}\]La incertesa en la quantitat de moviment serà:\[\Delta p = m \cdot \Delta v = 0,05 \, \text{kg} \cdot 0,009 \, \text{m/s} = 4,5 \times 10^{-4} \, \text{kg} \cdot \text{m/s}\]Aplicant la relació d’incertesa:\[\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{h}{4\pi} \quad \Rightarrow \quad \Delta x \geq \frac{h}{4\pi \cdot \Delta p}\]\[\Delta x \geq \frac{6,63 \times 10^{-34}}{4\pi \cdot 4,5 \times 10^{-4}} \approx 1,17 \times 10^{-31} \, \text{m}\]Aquesta incertesa és despreciable.