Convergència de sèries

Estudia la convergència de les sèries. a) \[\sum_{n \geq 1} \frac{3^n n!}{\sqrt[3]{n} \cdot 5 \cdot 8 \cdot 11 \cdots (5 + 3n)}\] b) \[\sum_{n \geq 1} (a – \sqrt{a})(a – \sqrt[3]{a}) \cdots (a – \sqrt[n]{a}) \quad (a > 0)\]

a) Suposem \( a_n = \frac{3^n n!}{\sqrt[3]{n} \cdot 5 \cdot 8 \cdot 11 \cdots (5 + 3n)} \). Tenim que:\[\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{3^{n+1}(n + 1)!}{\sqrt[3]{n + 1} \cdot 5 \cdot 8 \cdot 11 \cdots (5 + 3n)(5 + 3(n + 1))} \cdot \frac{\sqrt[3]{n} \cdot 5 \cdot 8 \cdot 11 \cdots (5 + 3n)}{3^n n!}\]\[= \left( \frac{n}{n + 1} \right)^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3n + 3}{3n + 8} \to 1\] El criteri del quocient no proporciona informació sobre la convergència de la sèrie. Aplicarem el criteri de Raabe en la seva forma alternativa:\[\left( \frac{a_n}{a_{n+1}} \right)^n = \left( \frac{n + 1}{n} \right)^{\frac{n}{3}} \left( \frac{3n + 8}{3n + 3} \right)^n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{\frac{n}{3}} \left( 1 + \frac{5}{3n + 3} \right)^n \to e^{\frac{1}{3}} e^{\frac{5}{3}} = e^2\]La sèrie convergeix.

b) Suposem \a_n = (a – \sqrt{a})(a – \sqrt[3]{a}) \cdots (a – \sqrt[n]{a}) \). Tenim que:\[\frac{a_{n+1}}{a_n} = a – \sqrt[n+1]{a} \to a – 1\]Per tant, si \( a – 1 < 1 \), o sigui, \( 0 < a < 2 \), la sèrie convergeix; i si \( a – 1 > 1 \), o sigui, \( a > 2 \), la sèrie no convergeix. Per al cas en què \( a = 2 \), el criteri del quocient no proporciona informació sobre la convergència de la sèrie. Aplicarem el criteri de Raabe:\[n \left( 1 – \frac{a_{n+1}}{a_n} \right) = n \left( 1 – \sqrt[n+1]{2} \right) \to \log 2 < 1\]La sèrie no convergeix.