Criteris de convergència per a sèries

Condició necessària de convergència: Sigui \(\sum a_n\) una sèrie de nombres reals convergent. Llavors \(\left\{a_n\right\} \to 0\).

Criteri general de convergència o criteri de Cauchy: Sigui \(\sum a_n\) una sèrie de nombres reals. Són equivalents:

i) \(\sum a_n\) és convergent ii) \(\forall \varepsilon > 0, \exists m \in \mathbb{N}\): si \(n \geq m\) i \(h \in \mathbb{N}\) és arbitrari, llavors $$\left|a_{n+1} + a_{n+2} + \dots + a_{n+h}\right| < \varepsilon$$

Test de comparació: Sigui \(\sum a_n\) i \(\sum b_n\) sèries de nombres reals. Suposem que \(\left|a_n\right| \leq b_n, \forall n \in \mathbb{N}\) i que la sèrie \(\sum b_n\) és convergent. Llavors, \(\sum a_n\) és convergent i es verifica que $$\left|\sum_{n=1}^{+\infty} a_n\right| \leq \sum_{n=1}^{+\infty} b_n$$En particular, si \(\sum a_n\) és una sèrie de nombres reals i \(\sum \left|a_n\right|\) és convergent, llavors la sèrie \(\sum a_n\) és convergent i es té que $$\left|\sum_{n=1}^{+\infty} a_n\right| \leq \sum_{n=1}^{+\infty} \left|a_n\right|$$

Sèries de termes positius

Criteri de comparació per pas al límit:

Sigui \(\left\{a_n\right\}, \left\{b_n\right\} \subset \mathbb{R}^{+}\).

i) Suposem que \(\left\{\frac{a_n}{b_n}\right\} \to L \in \mathbb{R}^{+}\). Llavors $$\sum a_n \text{ convergent } \Leftrightarrow \sum b_n \text{ convergent }$$

ii) Si \(\left\{\frac{a_n}{b_n}\right\} \to 0\) i \(\sum b_n\) és convergent, llavors \(\sum a_n\) és convergent.

iii) Si \(\left\{\frac{a_n}{b_n}\right\} \to +\infty\) i \(\sum a_n\) és convergent, llavors \(\sum b_n\) és convergent.

Criteri de l’arrel o de Cauchy: Sigui \(a_n \geq 0\). i) Si \(\lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{a_n} = L > 1 \Rightarrow \sum_{n \geq 1} a_n\) no convergeix. ii) Si \(\lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{a_n} = L < 1 \Rightarrow \sum_{n \geq 1} a_n\) convergeix.

Criteri de Kummer: Sigui \(a_n, b_n \geq 0\). i) Si \(\exists \varepsilon > 0, \exists p \in \mathbb{N}\): per a \(n \geq p\) es té que \(b_n – b_{n+1} \frac{a_{n+1}}{a_n} \geq \varepsilon\), llavors \(\sum a_n\) és convergent. ii) Si \(\exists p \in \mathbb{N}\) tal que, per a \(n \geq p\), es té \(b_n – b_{n+1} \frac{a_{n+1}}{a_n} \leq 0\) i la sèrie \(\sum \frac{1}{b_n}\) no és convergent, llavors la sèrie \(\sum a_n\) tampoc convergeix.

Criteri del quocient o de D’Alembert: Sigui \(a_n > 0\). i) Si \(\lim_{n \to +\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = L > 1 \Rightarrow \sum_{n \geq 1} a_n\) no convergeix. ii) Si \(\lim_{n \to +\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = L < 1 \Rightarrow \sum_{n \geq 1} a_n\) convergeix. *

Criteri de Raabe: Sigui \(a_n \geq 0\). i) Si \(\lim_{n \to +\infty} n \left(1 – \frac{a_{n+1}}{a_n}\right) = L > 1 \Rightarrow \sum_{n \geq 1} a_n\) convergeix. ii) Si \(\lim_{n \to +\infty} n \left(1 – \frac{a_{n+1}}{a_n}\right) = L < 1 \Rightarrow \sum_{n \geq 1} a_n\) no convergeix. **Criteri \(n^k a_n\) o de Pringsheim:** Sigui \(a_n \geq 0\). i) Si \(\lim_{n \to +\infty} n^k a_n = L > 0\) llavors: \(\sum_{n \geq 1} a_n\) convergeix \(\Leftrightarrow k > 1\). ii) Si \(\lim_{n \to +\infty} n^k a_n = 0\) i \(k > 1 \Rightarrow \sum_{n \geq 1} a_n\) convergeix. iii) Si \(\lim_{n \to +\infty} n^k a_n = +\infty\) i \(k \geq 1 \Rightarrow \sum_{n \geq 1} a_n\) no convergeix.

Criteri de condensació: Sigui \(\left\{a_n\right\} \searrow\) amb \(a_n \geq 0\). Llavors, $$\sum a_n \text{ convergeix } \Leftrightarrow \sum 2^n a_{2^n} \text{ convergeix }$$

Criteri: Si \(\lim_{n \to +\infty} \frac{f(n)}{n^\delta} = L > 0\) llavors; \(\sum_{n \geq 1} f\left(\frac{1}{n}\right)\) convergeix \(\Leftrightarrow k > 1\).

Criteri (Cas particular del criteri de Pringsheim): Sigui \(a_n = f\left(\frac{1}{n}\right) \geq 0, \forall n \in \mathbb{N}\) i tal que \(f\) és derivable en 0 amb \(f(0) = f'(0) = 0\). Suposem que \(f \in C^2(I)\) amb \(0 \in I\). Llavors, \(\sum_{n \geq 1} f\left(\frac{1}{n}\right)\) convergeix.

Criteri integral: Sigui \(f: [1, +\infty[ \to \mathbb{R}\) una funció positiva i decreixent i, per a cada \(n \in \mathbb{N}\), sigui \(a_n = f(n)\). Llavors, la sèrie \(\sum a_n\) i la integral impròpia de Riemann \(\int_1^{+\infty} f(n) \, dn\) tenen el mateix caràcter.

Casos particulars:

i) Sèries harmòniques o de Riemann: $$\sum_{n \geq 1} \frac{1}{n^k} \text{ convergeix } \Leftrightarrow k > 1$$

ii) Sigui \(k \in \mathbb{N}\) fix. Llavors: $$\sum_{n \geq 1} n^k |\beta| \text{ convergeix } \Leftrightarrow \beta < 1$$

iii) Sèrie geomètrica: $$\sum_{n \geq 1} x^n \text{ convergeix } \Leftrightarrow |x| < 1$$en quin cas $$\sum_{n=1}^{+\infty} x^n = \frac{1}{1-x}$$i

v) Sèrie aritmètico-geomètrica: Sigui \(\sum a_n\) una sèrie aritmètico-geomètrica (és a dir, \(a_n = [a_1 + (n-1)d] r^{n-1}\) on \(d = a_{n+1} – a_n\) i \(r = \frac{a_{n+1}}{a_n}\) són la diferència i la raó, respectivament). Llavors: $$\sum_{n=1}^{+\infty} [a_1 + (n-1)d] r^{n-1} = \frac{a_1}{1-r} + \frac{r d}{(1-r)^2} \quad \forall r \in ]-1, 1[$$

v) Sèrie hipergeomètrica: Sigui \(\sum a_n\) una sèrie hipergeomètrica (és a dir, \(\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{A n + B}{A n + C}\) amb \(A, B, C \in \mathbb{R}\)). Es té que $$\sum a_n \text{ convergeix } \Leftrightarrow C – B – A \geq 0$$en quin cas $$\sum_{n=1}^{+\infty} a_n = \frac{C a_1}{C – B – A}$$

Sèries de termes qualsevol

Criteris de Dirichlet i d’Abel: Sigui \(\left\{a_n\right\}, \left\{b_n\right\} \subset \mathbb{R}: \sum |b_{n+1} – b_n|\) és convergent.

i) Criteri de Dirichlet: Si la successió de sumes parcials de \(\sum a_n\) està acotada i \(\left\{b_n\right\} \to 0\), llavors la sèrie \(\sum a_n b_n\) és convergent.

ii) Criteri d’Abel: Si la sèrie \(\sum a_n\) és convergent, també ho és la sèrie \(\sum a_n b_n\).

Criteri de Leibniz: Si \(\left\{x_n\right\} \searrow 0\), la sèrie \(\sum (-1)^{n+1} x_n\) és convergent.