Problema sobre convergència de sèries

Estudia la convergència de les sèries: a) \(\sum_{n \geq 1} \frac{1}{n(n+1)}\) i b) \(\sum_{n \geq 1} \log \left(1 + \frac{1}{n}\right)\).

a) \[\frac{1}{k(k+1)} = \frac{(k+1) – k}{k(k+1)} = \frac{1}{k} – \frac{1}{k+1} \implies \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} = 1 – \frac{1}{n+1}.\] Llavors, \[\sum_{n \geq 1} \frac{1}{n(n+1)} = \left\{1 – \frac{1}{n+1}\right\} \to 1,\] és a dir, la sèrie \(\sum_{n \geq 1} \frac{1}{n(n+1)}\) és convergent i la seva suma és igual a 1.

b) \[\log \left(1 + \frac{1}{k}\right) = \log \frac{k+1}{k} = \log(k+1) – \log k \implies \sum_{k=1}^{n} \log \left(1 + \frac{1}{k}\right) = \log(n+1).\] Llavors, \[\sum_{n \geq 1} \log \left(1 + \frac{1}{n}\right) = \{\log(n+1)\} \to +\infty,\] és a dir, la sèrie \(\sum_{n \geq 1} \frac{1}{n(n+1)}\) és positivament divergent.