Convergència absoluta. Criteri de d’Alembert

Donada la sèrie: \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^3}{4^n} x^n\] a. Determinar el radi de convergència. b. Trobar l’interval de convergència

a) Estudia la convergència absoluta de la sèrie emprant el criteri de d’Alembert. \[L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{(n+1)^3 \cdot x^{n+1}}{4^{n+1}}}{\frac{n^3 \cdot x^n}{4^n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{4^n \cdot (n+1)^3 \cdot x^{n+1}}{4^{n+1} \cdot n^3 \cdot x^n} = |x| \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^3}{4 \cdot n^3} = \frac{|x|}{4}\]Perquè la sèrie sigui convergent d’acord amb el criteri del quocient, el valor de \(L\) ha de ser menor que u:\[\frac{|x|}{4} < 1 \implies |x| < 4\]Per tant, el radi de convergència \(R = 4\).

b) Per calcular l’interval de convergència, cal estudiar el caràcter de la sèrie als extrems de l’interval, \(x = -4\) i \(x = 4\). En aquest cas, n’hi ha prou amb analitzar la condició necessària de convergència:

Per \(x = -4\):\[\lim_{n \to \infty} \frac{n^3 \cdot (-4)^n}{4^n} = \lim_{n \to \infty} (-1)^n n^3 \quad (\text{no existeix el límit, sèrie oscil·lant})\]Per \(x = 4\):\[\lim_{n \to \infty} \frac{n^3 \cdot 4^n}{4^n} = \lim_{n \to \infty} n^3 = \infty \quad (\text{sèrie divergent})\]Per tant, la sèrie serà convergent dins de l’interval \(I = (-4, 4)\).