Caràcter de la successió

Determinar el caràcter de la successió \(a_n\) en funció del valor del paràmetre \(a\): \[a_n = \left( \frac{n + a}{n + 1} \right)^{2n + 2} \quad a \in \mathbb{R}\]

Es procedeix al càlcul del límit a l’infinit:\[\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n + a}{n + 1} \right)^{2n + 2} = \{1^\infty\} \quad (\text{indeterminació})\]Com que es tracta d’una indeterminació del tipus \(1^\infty\), es prenen logaritmes per a la seva resolució:\[\log L = \lim_{n \to \infty} \log \left( \frac{n + a}{n + 1} \right)^{2n + 2} = \lim_{n \to \infty} (2n + 2) \log \left( \frac{n + a}{n + 1} \right) \sim \lim_{n \to \infty} (2n + 2) \left( \frac{n + a}{n + 1} – 1 \right) =\]\[= \lim_{n \to \infty} (2n + 2) \cdot \frac{(n + a) – (n + 1)}{n + 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{(2n + 2)(a – 1)}{n + 1} = (a – 1) \lim_{n \to \infty} \frac{2n + 2}{n + 1} = 2(a – 1)\]Desfent el logaritme, s’obté el valor del límit:\[\log L = 2(a – 1) \implies L = e^{2(a – 1)}\]Se’n dedueix, per tant, que la successió serà convergent per a qualsevol valor de \(a\) real finit, o bé quan \(a = -\infty\). La sèrie serà divergent quan \(a = +\infty\).