Estudi de la convergència de sèries numèriques

Estudia la convergència de les sèries numèriques següents: a) \(\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(\log(n))^n}\) b) \(\sum_{n=1}^{\infty} n \left( \frac{3}{4} \right)^n\)

Totes les sèries de l’enunciat són de termes positius, de manera que podem aplicar qualsevol dels criteris establerts per a elles, especialment els criteris de l’arrel i del quocient.

(a) Si \(a_n = \frac{1}{(\log(n))^n}\), llavors \(\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\log(n)} = 0\). Aplicant el criteri de l’arrel, obtenim que la sèrie \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(\log(n))^n}\) és convergent.

(b) Si \(a_n = n \left( \frac{3}{4} \right)^n\), llavors \(\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{4}\), ja que tenim en compte que \(\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1\). Aplicant el criteri de l’arrel, obtenim que la sèrie \(\sum_{n=1}^{\infty} n \left( \frac{3}{4} \right)^n\) és convergent. També podem aplicar el criteri del quocient (recordar que quan existeixen els límits ambdós criteris són equivalents), i ja que\[\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1) \left( \frac{3}{4} \right)^{n+1}}{n \left( \frac{3}{4} \right)^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{3(n+1)}{4n} = \frac{3}{4},\]finalment, tenint en compte que la sèrie és de tipus aritmètico-geomètrica, podem obtenir una conclusió més precisa: Com que la raó és \(r = \frac{3}{4} < 1\), la sèrie és convergent i a més\[\sum_{n=1}^{\infty} n \left( \frac{3}{4} \right)^n = \sum_{n=1}^{\infty} n r^n = \sum_{n=0}^{\infty} r^n = \frac{r}{(1-r)^2} = \frac{\frac{3}{4}}{\left(1 – \frac{3}{4}\right)^2} = 12\]