Trobar el tipus d’estructura cúbica

Resoldre el tipus d’estructura cúbica que presenta un metall, densitat és $2.6$ g/cm$^3$ conegut el seu pes atòmic $87.62$ g/mol i el seu pes paràmetre de xarxa $6.0849$ Å

Per resoldre el tipus d’estructura cúbica que presenta el metall, podem utilitzar la fórmula de la densitat per a estructures cúbiques. Sabem que la densitat $\rho$ està relacionada amb el nombre d’àtoms per cel·la unitària $n$, la massa atòmica $M$, el paràmetre de xarxa $a$ i el número d’Avogadro $N_A$ mitjançant la fórmula següent:

$$\rho = \frac{n \cdot M}{a^3 \cdot N_A}$$

On:

• $\rho$ és la densitat en $\text{g/cm}^3$,
• $n$ és el nombre d’àtoms per cel·la unitària (que depèn del tipus d’estructura cúbica: cúbica centrada en el cos (BCC), cúbica centrada en les cares (FCC), etc.),
• $M$ és el pes atòmic (en g/mol),
• $a$ és el paràmetre de xarxa (en cm),
• $N_A$ és el número d’Avogadro, $6.022 \times 10^{23}\, \text{àtoms/mol}$.

Pas 1: Convertir les unitats del paràmetre de xarxa

El paràmetre de xarxa $a$ està donat en Ångstroms (Å), i necessitem convertir-lo a centímetres ($\text{cm}$):

$$1 \, \text{Å} = 1 \times 10^{-8} \, \text{cm}$$
$$a = 6.0849 \, \text{Å} = 6.0849 \times 10^{-8} \, \text{cm}$$

Pas 2: Substituir els valors coneguts

Sabem que:

• $\rho = 2.6 \, \text{g/cm}^3$,
• $M = 87.62 \, \text{g/mol}$,
• $a = 6.0849 \times 10^{-8} \, \text{cm}$,
• $N_A = 6.022 \times 10^{23} \, \text{àtoms/mol}$.

Ara substituïm aquests valors en la fórmula de la densitat:

$$2.6 = \frac{n \cdot 87.62}{(6.0849 \times 10^{-8})^3 \cdot 6.022 \times 10^{23}}$$

Pas 3: Despejar el nombre d’àtoms per cel·la unitaria $n$

Primer calculem $a^3$:

$$a^3 = (6.0849 \times 10^{-8})^3 = 2.2534 \times 10^{-22} \, \text{cm}^3$$

Ara substituïm aquest valor en la fórmula i despejem $n$:

$$2.6 = \frac{n \cdot 87.62}{2.2534 \times 10^{-22} \cdot 6.022 \times 10^{23}}$$

Multiplicant:

$$2.6 = \frac{n \cdot 87.62}{1.3564 \times 10^2}$$

Multipliquem tots dos costats per $1.3564 \times 10^2$:

$$2.6 \times 1.3564 \times 10^2 = n \cdot 87.62$$
$$n = \frac{352.66}{87.62} \approx 4$$

Pas 4: Identificar el tipus d’estructura cúbica

El valor $n = 4$ correspon a una estructura cúbica centrada en les cares (FCC), ja que en una cel·la unitaria cúbica centrada en les cares, hi ha $4$ àtoms per cel·la unitaria.

Resposta final:

El metall presenta una estructura cúbica centrada en les cares (FCC).