LEMNISCATA
Matemàtiques
Els àtoms d’un metall determinat cristal·litzen en un sistema cúbic centrat en el cos i tenen un radi de $0.112$ nm. Determina: a) l’índex de coordinació i els atoms de cada cel·la b) la constant reticular de la xarxa cristal·lina c) el volum de la cel·la unitària
Per resoldre aquest problema, seguirem pas a pas els càlculs relacionats amb un metall que cristal·litza en una estructura cúbica centrada en el cos (BCC, Body-Centered Cubic). Utilitzarem les següents dades:
La constant reticular $a$ és la longitud del costat del cub de la cèl·lula unitaria. En l’estructura BCC, la relació entre el radi atòmic $r$ i la constant reticular $a$ està donada per la fórmula:
$$a = \frac{4r}{\sqrt{3}}$$
Substituint el valor del radi atòmic $r = 0,112 \, \text{nm} = 1,12 \times 10^{-10} \, \text{m}$:
$$a = \frac{4 \times 1,12 \times 10^{-10}}{\sqrt{3}} = \frac{4,48 \times 10^{-10}}{1,732} \approx 2,59 \times 10^{-10} \, \text{m} = 0,259 \, \text{nm}$$
La constant reticular és $a \approx 0,259 \, \text{nm}$.
El volum de la cèl·lula unitaria (V) en una estructura cúbica és el cub de la constant reticular:
$$V = a^3$$
Substituint el valor de $a = 0,259 \, \text{nm} = 2,59 \times 10^{-10} \, \text{m}$:
$$V = (2,59 \times 10^{-10} \, \text{m})^3 = 1,74 \times 10^{-29} \, \text{m}^3 = 1,74 \times 10^{-2} \, \text{nm}^3$$
El volum de la cèl·lula unitaria és $V \approx 1,74 \times 10^{-2} \, \text{nm}^3$.