Índex coordinació, constant reticular i volum cel·la unitària

Els àtoms d’un metall determinat cristal·litzen en un sistema cúbic centrat en el cos i tenen un radi de $0.112$ nm. Determina: a) l’índex de coordinació i els atoms de cada cel·la b) la constant reticular de la xarxa cristal·lina c) el volum de la cel·la unitària

Per resoldre aquest problema, seguirem pas a pas els càlculs relacionats amb un metall que cristal·litza en una estructura cúbica centrada en el cos (BCC, Body-Centered Cubic). Utilitzarem les següents dades:

• Radi atòmic $r$ $= 0,112$ nm $= 1,12 \times 10^{-10}$ m

a) Índex de coordinació i àtoms per cèl·lula

1. Índex de coordinació:
   L’índex de coordinació és el nombre d’àtoms veïns més propers a un àtom en una estructura cristal·lina. En una estructura cúbica centrada en el cos (BCC), cada àtom al centre de la cel·la té $8$ àtoms veïns en les cantonades del cub. Per tant, l’índex de coordinació en aquesta estructura és $8$.
2. Nombre d’àtoms per cèl·lula unitaria:
   En una cel·la cúbica centrada en el cos (BCC), hi ha:

• $1$ àtom al centre del cub.
• $8$ àtoms en les cantonades del cub, però cada àtom a la cantonada està compartit entre $8$ cèl·lules unitàries adjacents, el que equival a $\frac{1}{8}$ de cada àtom. El total d’àtoms per cèl·lula unitaria és:
  $$\text{Àtoms per cel·la} = 1 + 8 \times \frac{1}{8} = 2 \text{ àtoms/cel·la unitaria}.$$

b) Constant reticular $a$

La constant reticular $a$ és la longitud del costat del cub de la cèl·lula unitaria. En l’estructura BCC, la relació entre el radi atòmic $r$ i la constant reticular $a$ està donada per la fórmula:

$$a = \frac{4r}{\sqrt{3}}$$

Substituint el valor del radi atòmic $r = 0,112 \, \text{nm} = 1,12 \times 10^{-10} \, \text{m}$:

$$a = \frac{4 \times 1,12 \times 10^{-10}}{\sqrt{3}} = \frac{4,48 \times 10^{-10}}{1,732} \approx 2,59 \times 10^{-10} \, \text{m} = 0,259 \, \text{nm}$$

La constant reticular és $a \approx 0,259 \, \text{nm}$.

c) Volum de la cèl·lula unitaria

El volum de la cèl·lula unitaria (V) en una estructura cúbica és el cub de la constant reticular:

$$V = a^3$$

Substituint el valor de $a = 0,259 \, \text{nm} = 2,59 \times 10^{-10} \, \text{m}$:

$$V = (2,59 \times 10^{-10} \, \text{m})^3 = 1,74 \times 10^{-29} \, \text{m}^3 = 1,74 \times 10^{-2} \, \text{nm}^3$$

El volum de la cèl·lula unitaria és $V \approx 1,74 \times 10^{-2} \, \text{nm}^3$.

Resum de respostes:

• a) Índex de coordinació: $8$, Àtoms per cèl·lula unitaria: $2$
• b) Constant reticular: $a \approx 0,259 \, \text{nm}$
• c) Volum de la cèl·lula unitaria: $V \approx 1,74 \times 10^{-2} \, \text{nm}^3$