Índex coordinació, constant reticular i volum cel·la unitària

Índex coordinació, constant reticular i volum cel·la unitària
19 de setembre de 2024 No hi ha comentaris Tecnologia Industrial Oscar Alex Fernandez Mora

Els àtoms d’un metall determinat cristal·litzen en un sistema cúbic centrat en el cos i tenen un radi de $0.112$ nm. Determina: a) l’índex de coordinació i els atoms de cada cel·la b) la constant reticular de la xarxa cristal·lina c) el volum de la cel·la unitària

Per resoldre aquest problema, seguirem pas a pas els càlculs relacionats amb un metall que cristal·litza en una estructura cúbica centrada en el cos (BCC, Body-Centered Cubic). Utilitzarem les següents dades:

  • Radi atòmic $r$ $= 0,112$ nm $= 1,12 \times 10^{-10}$ m

a) Índex de coordinació i àtoms per cèl·lula

  1. Índex de coordinació:
    L’índex de coordinació és el nombre d’àtoms veïns més propers a un àtom en una estructura cristal·lina. En una estructura cúbica centrada en el cos (BCC), cada àtom al centre de la cel·la té $8$ àtoms veïns en les cantonades del cub. Per tant, l’índex de coordinació en aquesta estructura és $8$.
  2. Nombre d’àtoms per cèl·lula unitaria:
    En una cel·la cúbica centrada en el cos (BCC), hi ha:
  • $1$ àtom al centre del cub.
  • $8$ àtoms en les cantonades del cub, però cada àtom a la cantonada està compartit entre $8$ cèl·lules unitàries adjacents, el que equival a $\frac{1}{8}$ de cada àtom. El total d’àtoms per cèl·lula unitaria és:
    $$\text{Àtoms per cel·la} = 1 + 8 \times \frac{1}{8} = 2 \text{ àtoms/cel·la unitaria}.$$

b) Constant reticular $a$

La constant reticular $a$ és la longitud del costat del cub de la cèl·lula unitaria. En l’estructura BCC, la relació entre el radi atòmic $r$ i la constant reticular $a$ està donada per la fórmula:

$$a = \frac{4r}{\sqrt{3}}$$

Substituint el valor del radi atòmic $r = 0,112 \, \text{nm} = 1,12 \times 10^{-10} \, \text{m}$:

$$a = \frac{4 \times 1,12 \times 10^{-10}}{\sqrt{3}} = \frac{4,48 \times 10^{-10}}{1,732} \approx 2,59 \times 10^{-10} \, \text{m} = 0,259 \, \text{nm}$$

La constant reticular és $a \approx 0,259 \, \text{nm}$.

c) Volum de la cèl·lula unitaria

El volum de la cèl·lula unitaria (V) en una estructura cúbica és el cub de la constant reticular:

$$V = a^3$$

Substituint el valor de $a = 0,259 \, \text{nm} = 2,59 \times 10^{-10} \, \text{m}$:

$$V = (2,59 \times 10^{-10} \, \text{m})^3 = 1,74 \times 10^{-29} \, \text{m}^3 = 1,74 \times 10^{-2} \, \text{nm}^3$$

El volum de la cèl·lula unitaria és $V \approx 1,74 \times 10^{-2} \, \text{nm}^3$.

Resum de respostes:

  • a) Índex de coordinació: $8$, Àtoms per cèl·lula unitaria: $2$
  • b) Constant reticular: $a \approx 0,259 \, \text{nm}$
  • c) Volum de la cèl·lula unitaria: $V \approx 1,74 \times 10^{-2} \, \text{nm}^3$
Tags
Sobre l'autor
Oscar Alex Fernandez Mora Etern estudiant de la Rússia tsarista. Gran aficionat als destil·lats i als fermentats. Malaltís de llibres de la MIR i entusiasta del #LaTeX. Soci de l’ACBC. Important actiu del projecte Campana de Gauss

Leave a reply

L'adreça electrònica no es publicarà. Els camps necessaris estan marcats amb *