LEMNISCATA
Matemàtiques
Calculeu el tant per cent d’espai buit en una xarxa hexagonal compacta.
Per calcular el tant per cent d’espai buit en una estructura hexagonal compacta (HCP), primer hem de determinar el factor d’empaquetament atòmic (APF). A partir d’aquest valor, podem deduir el percentatge d’espai buit restant.
El APF es defineix com la fracció del volum de la cel·la unitat que està ocupada pels àtoms. La fórmula general és:
$$\text{APF} = \frac{\text{Volum ocupat pels àtoms}}{\text{Volum de la cel·la unitat}}$$
En una estructura hexagonal compacta:
El volum ocupat pels àtoms dins de la cel·la unitat serà:
$$V_{\text{total àtoms}} = 6 \times \frac{4}{3} \pi R^3 = 8 \pi R^3$$
El volum de la cel·la unitat per una estructura HCP es calcula amb la següent fórmula:
$$V_{\text{cel·la}} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} a^2 c$$
On $a$ és el paràmetre de xarxa (que està relacionat amb el radi atòmic $R$ per $a = 2R$) i $c$ és la distància entre els plans hexagonals, que en una cel·la HCP ideal es relaciona amb $a$ mitjançant $c = \frac{8}{3}R\sqrt{2}$, aproximadament $c = 1.633a$.
Substituint $a = 2R$, el volum de la cel·la es pot simplificar en funció de $R$:
$$V_{\text{cel·la}} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} (2R)^2 (1.633 \times 2R) = 24.72 R^3$$
Ara podem calcular l’APF substituint el volum ocupat pels àtoms i el volum de la cel·la unitat:
$$\text{APF} = \frac{8 \pi R^3}{24.72 R^3}$$
Cancel·lem $R^3$ en el numerador i denominador:
$$\text{APF} = \frac{8 \pi}{24.72} \approx 0.74$$
Això significa que el $74\%$ del volum de la cel·la unitat està ocupat pels àtoms.
El percentatge d’espai buit és simplement el complement del factor d’empaquetament atòmic:
$$\text{Percentatge d’espai buit} = 100\% – \text{APF} \times 100\%$$
Substituïm l’APF:
$$\text{Percentatge d’espai buit} = 100\% – 74\% = 26\%$$
El tant per cent d’espai buit en una estructura hexagonal compacta (HCP) és $26\%$.