Tant per cent espai buit en xarxa hexagonal compacta

Tant per cent espai buit en xarxa hexagonal compacta
19 de setembre de 2024 No hi ha comentaris Tecnologia Industrial Oscar Alex Fernandez Mora

Calculeu el tant per cent d’espai buit en una xarxa hexagonal compacta.

Per calcular el tant per cent d’espai buit en una estructura hexagonal compacta (HCP), primer hem de determinar el factor d’empaquetament atòmic (APF). A partir d’aquest valor, podem deduir el percentatge d’espai buit restant.

1. Factor d’empaquetament atòmic (APF) per a una estructura HCP

El APF es defineix com la fracció del volum de la cel·la unitat que està ocupada pels àtoms. La fórmula general és:

$$\text{APF} = \frac{\text{Volum ocupat pels àtoms}}{\text{Volum de la cel·la unitat}}$$

Estructura HCP

En una estructura hexagonal compacta:

  • Hi ha $6$ àtoms per cel·la unitat.
  • El volum d’un àtom és el volum d’una esfera: $\frac{4}{3} \pi R^3$, on $R$ és el radi atòmic.

El volum ocupat pels àtoms dins de la cel·la unitat serà:

$$V_{\text{total àtoms}} = 6 \times \frac{4}{3} \pi R^3 = 8 \pi R^3$$

Volum de la cel·la unitat HCP

El volum de la cel·la unitat per una estructura HCP es calcula amb la següent fórmula:

$$V_{\text{cel·la}} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} a^2 c$$

On $a$ és el paràmetre de xarxa (que està relacionat amb el radi atòmic $R$ per $a = 2R$) i $c$ és la distància entre els plans hexagonals, que en una cel·la HCP ideal es relaciona amb $a$ mitjançant $c = \frac{8}{3}R\sqrt{2}$, aproximadament $c = 1.633a$.

Substituint $a = 2R$, el volum de la cel·la es pot simplificar en funció de $R$:

$$V_{\text{cel·la}} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} (2R)^2 (1.633 \times 2R) = 24.72 R^3$$

2. Càlcul de l’APF

Ara podem calcular l’APF substituint el volum ocupat pels àtoms i el volum de la cel·la unitat:

$$\text{APF} = \frac{8 \pi R^3}{24.72 R^3}$$

Cancel·lem $R^3$ en el numerador i denominador:

$$\text{APF} = \frac{8 \pi}{24.72} \approx 0.74$$

Això significa que el $74\%$ del volum de la cel·la unitat està ocupat pels àtoms.

3. Percentatge d’espai buit

El percentatge d’espai buit és simplement el complement del factor d’empaquetament atòmic:

$$\text{Percentatge d’espai buit} = 100\% – \text{APF} \times 100\%$$

Substituïm l’APF:

$$\text{Percentatge d’espai buit} = 100\% – 74\% = 26\%$$

Resposta final:

El tant per cent d’espai buit en una estructura hexagonal compacta (HCP) és $26\%$.

Tags
Sobre l'autor
Oscar Alex Fernandez Mora Etern estudiant de la Rússia tsarista. Gran aficionat als destil·lats i als fermentats. Malaltís de llibres de la MIR i entusiasta del #LaTeX. Soci de l’ACBC. Important actiu del projecte Campana de Gauss

Leave a reply

L'adreça electrònica no es publicarà. Els camps necessaris estan marcats amb *