Temps en arribar a classe. Distribució normal

Temps en arribar a classe. Distribució normal
1 de setembre de 2024 No hi ha comentaris Matemàtiques, Probabilitat Oscar Alex Fernandez Mora

Un estudiant universitari de matemàtiques ha comprovat que el temps que li costa arribar des de casa seva a la universitat segueix una distribució normal amb mitjana de $30$ minuts i desviació típica de $5$ minuts.

a) Quina és la probabilitat que triguin menys de $40$ minuts a arribar a la universitat?

b) Quina és la probabilitat que triguin entre $20$ i $40$ minuts?

c) L’estudiant, un dia al sortir de casa, comprova que falten exactament $40$ minuts perquè comenci la classe. Quina és la probabilitat que arribi tard a classe?

Dades proporcionades:

  • Mitjana $\mu = 30$ minuts
  • Desviació típica $\sigma = 5$ minuts

a) Probabilitat que triguin menys de $40$ minuts a arribar a la universitat

Convertim el valor de $40$ minuts a la unitat de la distribució normal estandarditzada ($Z$-score). La fórmula per calcular el $Z$-score és:

$$Z = \frac{X – \mu}{\sigma}$$

On:

  • $X$ és el valor en qüestió ($40$ minuts)
  • $\mu$ és la mitjana ($30$ minuts)
  • $\sigma$ és la desviació típica ($5$ minuts)

Substituïm els valors:

$$Z = \frac{40 – 30}{5} = \frac{10}{5} = 2$$

Ara utilitzem la taula de la distribució normal estandarditzada per trobar la probabilitat associada a $Z = 2$. La probabilitat acumulada fins a $Z = 2$ és aproximadament $0.9772$.

Per tant, la probabilitat que l’estudiant triguin menys de $40$ minuts a arribar a la universitat és $0.9772$ (o $97,72\%$).

b) Probabilitat que triguin entre $20$ i $40$ minuts

Per trobar aquesta probabilitat, calculem la probabilitat acumulada fins a $40$ minuts i restem la probabilitat acumulada fins a $20$ minuts.

  1. Probabilitat que triguin menys de $40$ minuts (ja calculada en l’apartat a):

$$P(X < 40) = P(Z < 2) = 0.9772$$

  1. Probabilitat que triguin menys de $20$ minuts:

Convertim $20$ minuts a $Z$-score:

$$Z = \frac{20 – 30}{5} = \frac{-10}{5} = -2$$

Utilitzem la taula per $Z = -2$. La probabilitat acumulada fins a $Z = -2$ és aproximadament $0.0228$.

La probabilitat que triguin entre $20$ i $40$ minuts és:

$$P(20 < X < 40) = P(X < 40) – P(X < 20)$$

[
P(20 < X < 40) = 0.9772 – 0.0228 = 0.9544
]

Per tant, la probabilitat que triguin entre $20$ i $40$ minuts és $0.9544$ (o $95,44\%$).

c) Probabilitat que arribi tard a classe si li queden exactament $40$ minuts fins que comenci la classe

Si l’estudiant té exactament $40$ minuts fins que comenci la classe, necessitem calcular la probabilitat que el temps de llegada sigui més gran de $40$ minuts.

La probabilitat que l’estudiant arribi tard és:

$$P(X > 40) = 1 – P(X \leq 40)$$

On $P(X \leq 40)$ és la probabilitat acumulada fins a $40$ minuts, que ja hem calculat com $0.9772$.

Per tant:

$$P(X > 40) = 1 – 0.9772 = 0.0228$$

La probabilitat que l’estudiant arribi tard a classe és $0.0228$ (o $2,28\%$).

Tags
Sobre l'autor
Oscar Alex Fernandez Mora Etern estudiant de la Rússia tsarista. Gran aficionat als destil·lats i als fermentats. Malaltís de llibres de la MIR i entusiasta del #LaTeX. Soci de l’ACBC. Important actiu del projecte Campana de Gauss

Leave a reply

L'adreça electrònica no es publicarà. Els camps necessaris estan marcats amb *