LEMNISCATA
Matemàtiques
Un estudiant universitari de matemàtiques ha comprovat que el temps que li costa arribar des de casa seva a la universitat segueix una distribució normal amb mitjana de $30$ minuts i desviació típica de $5$ minuts.
a) Quina és la probabilitat que triguin menys de $40$ minuts a arribar a la universitat?
b) Quina és la probabilitat que triguin entre $20$ i $40$ minuts?
c) L’estudiant, un dia al sortir de casa, comprova que falten exactament $40$ minuts perquè comenci la classe. Quina és la probabilitat que arribi tard a classe?
Dades proporcionades:
Convertim el valor de $40$ minuts a la unitat de la distribució normal estandarditzada ($Z$-score). La fórmula per calcular el $Z$-score és:
$$Z = \frac{X – \mu}{\sigma}$$
On:
Substituïm els valors:
$$Z = \frac{40 – 30}{5} = \frac{10}{5} = 2$$
Ara utilitzem la taula de la distribució normal estandarditzada per trobar la probabilitat associada a $Z = 2$. La probabilitat acumulada fins a $Z = 2$ és aproximadament $0.9772$.
Per tant, la probabilitat que l’estudiant triguin menys de $40$ minuts a arribar a la universitat és $0.9772$ (o $97,72\%$).
Per trobar aquesta probabilitat, calculem la probabilitat acumulada fins a $40$ minuts i restem la probabilitat acumulada fins a $20$ minuts.
$$P(X < 40) = P(Z < 2) = 0.9772$$
Convertim $20$ minuts a $Z$-score:
$$Z = \frac{20 – 30}{5} = \frac{-10}{5} = -2$$
Utilitzem la taula per $Z = -2$. La probabilitat acumulada fins a $Z = -2$ és aproximadament $0.0228$.
La probabilitat que triguin entre $20$ i $40$ minuts és:
$$P(20 < X < 40) = P(X < 40) – P(X < 20)$$
[
P(20 < X < 40) = 0.9772 – 0.0228 = 0.9544
]
Per tant, la probabilitat que triguin entre $20$ i $40$ minuts és $0.9544$ (o $95,44\%$).
Si l’estudiant té exactament $40$ minuts fins que comenci la classe, necessitem calcular la probabilitat que el temps de llegada sigui més gran de $40$ minuts.
La probabilitat que l’estudiant arribi tard és:
$$P(X > 40) = 1 – P(X \leq 40)$$
On $P(X \leq 40)$ és la probabilitat acumulada fins a $40$ minuts, que ja hem calculat com $0.9772$.
Per tant:
$$P(X > 40) = 1 – 0.9772 = 0.0228$$
La probabilitat que l’estudiant arribi tard a classe és $0.0228$ (o $2,28\%$).