LEMNISCATA
Matemàtiques
Podle statistik Národního statistického institutu je pravděpodobnost, že muž bude nezaměstnaný, 12 %, zatímco u žen je to 16 %. Dále je pravděpodobnost, že osoba bude mužem, 64 % a že bude ženou, 36 %.
a) (0,75 bodu) Spojili jsme se na sociálních sítích s nějakou osobou. Jaká je pravděpodobnost, že to bude žena a že bude nezaměstnaná?
b) (0,75 bodu) Pokud je osoba vybrána náhodně, jaká je pravděpodobnost, že bude nezaměstnaná?
c) (0,5 bodu) Spojili jsme se na sociálních sítích s osobou, která nám přiznala, že je nezaměstnaná. Jaká je pravděpodobnost, že to bude žena?
Informační poznámka: výše uvedené statistiky (a experimenty) jsou prováděny s lidmi, kteří jsou schopni pracovat.
Zadané údaje:
Abychom našli pravděpodobnost, že osoba bude žena a zároveň bude nezaměstnaná $P(Ž \cap N)$, použijeme vzorec pro kombinovanou pravděpodobnost závislých jevů:
$$P(Ž \cap N) = P(N \mid Ž) \times P(Ž)$$
Dosadíme hodnoty:
$$P(Ž \cap N) = 0,16 \times 0,36 = 0,0576$$
Pravděpodobnost, že osoba bude žena a bude nezaměstnaná, je tedy $0,0576$ (neboli $5,76\%$).
Abychom našli pravděpodobnost, že osoba bude nezaměstnaná $P(N)$, použijeme pravidlo celkové pravděpodobnosti:
$$P(N) = P(N \mid M) \times P(M) + P(N \mid Ž) \times P(Ž)$$
Dosadíme hodnoty:
$$P(N) = (0,12 \times 0,64) + (0,16 \times 0,36)$$
Vypočítáme jednotlivé členy:
$$P(N \mid M) \times P(M) = 0,12 \times 0,64 = 0,0768$$
$$P(N \mid Ž) \times P(Ž) = 0,16 \times 0,36 = 0,0576$$
Sečteme tyto hodnoty:
$$P(N) = 0,0768 + 0,0576 = 0,1344$$
Pravděpodobnost, že náhodně vybraná osoba bude nezaměstnaná, je tedy $0,1344$ (neboli $13,44\%$).
Abychom našli pravděpodobnost, že osoba bude žena, pokud víme, že je nezaměstnaná $P(Ž \mid N)$, použijeme vzorec pro podmíněnou pravděpodobnost:
$$P(Ž \mid N) = \frac{P(Ž \cap N)}{P(N)}$$
Dosadíme hodnoty:
$$P(Ž \mid N) = \frac{0,0576}{0,1344} \approx 0,4286$$
Pravděpodobnost, že osoba bude žena, pokud víme, že je nezaměstnaná, je tedy $0,4286$ (neboli $42,86\%$).