LEMNISCATA
Matemàtiques
Un raig de llum incideix sobre una placa de vidre d’índex de refracció $1,5$; la placa té un gruix de $2,5$ cm i podem considerar que les seves superfícies són perfectament paral·leles. Si el raig incident forma un angle de $30$° amb la normal a les superfícies de la placa, calculeu: a) L’angle de refracció. b) L’angle amb què surt el raig refractat una vegada ha travessat tota la placa. c) L’angle límit quan el raig passa del vidre a l’aire.
Per resoldre aquest problema, utilitzarem les lleis de la refracció de la llum, en particular la llei de Snell. La llei de Snell ens diu que:
$$n_1 \sin(\theta_1) = n_2 \sin(\theta_2)$$
On:
Donem per suposat que l’índex de refracció de l’aire és aproximadament $n_1 = 1$ i el de la placa de vidre és $n_2 = 1.5$.
El raig de llum incideix sobre la superfície del vidre amb un angle de $30$° amb la normal. Utilitzarem la llei de Snell per trobar l’angle de refracció $\theta_2$.
$$n_1 \sin(\theta_1) = n_2 \sin(\theta_2)$$
$$1 \cdot \sin(30^\circ) = 1.5 \cdot \sin(\theta_2)$$
Sabem que $\sin(30^\circ) = 0.5$:
$$0.5 = 1.5 \cdot \sin(\theta_2)$$
Despejant $\sin(\theta_2)$:
$$\sin(\theta_2) = \frac{0.5}{1.5} = \frac{1}{3} \approx 0.333$$
Per trobar $\theta_2$:
$$\theta_2 = \sin^{-1}(0.333) \approx 19.5^\circ$$
Després de passar a través del vidre, el raig sortirà del vidre a l’aire. A l’interior del vidre, l’angle de refracció que acabem de calcular és de $\theta_2 \approx 19.5^\circ$. Quan el raig surt del vidre i torna a l’aire, s’aplica la mateixa llei de Snell, però en aquest cas, $n_1$ és el vidre i $n_2$ és l’aire. Així:
$$n_2 \sin(\theta_2) = n_1 \sin(\theta_3)$$
$$1.5 \cdot \sin(19.5^\circ) = 1 \cdot \sin(\theta_3)$$
$$\sin(\theta_3) = 1.5 \cdot \sin(19.5^\circ) = 1.5 \cdot 0.333 \approx 0.5$$
$$\theta_3 = \sin^{-1}(0.5) = 30^\circ$$
Així, l’angle amb què el raig surt de la placa és el mateix que l’angle d’incidència inicial, és a dir, $30$°.
L’angle límit és l’angle màxim de l’incidència al vidre per al qual la refracció encara és possible. Si l’angle d’incidència supera aquest angle, la llum es reflecteix totalment. Utilitzem la llei de Snell en el cas en què l’angle de refracció és $90$°:
$$n_2 \sin(\theta_{\text{límit}}) = n_1 \sin(90^\circ)$$
$$1.5 \cdot \sin(\theta_{\text{límit}}) = 1 \cdot 1$$
$$\sin(\theta_{\text{límit}}) = \frac{1}{1.5} \approx 0.667$$
$$\theta_{\text{límit}} = \sin^{-1}(0.667) \approx 41.8^\circ$$