Mirall esfèric còncau

Un mirall esfèric còncau té un radi de $7$ m. Determineu la posició i la mida de la imatge que forma d’una persona de $170$ cm d’alçada, i digueu com són les característiques de la imatge, en les següents posicions de la persona respecte del vèrtex del mirall: a) $1$ m b) $6$ m c) $9$ m

Per resoldre aquest problema, utilitzarem l’equació del mirall esfèric i l’equació de magnificació. Un mirall còncau té una distància focal $f$ que és la meitat del radi de curvatura $R$, i per tant, en aquest cas:

$$f = \frac{R}{2} = \frac{7}{2} = 3.5 \, \text{m}$$

L’equació del mirall esfèric és:

$$\frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i}$$

On:

• $d_o$ és la distància de l’objecte al mirall.
• $d_i$ és la distància de la imatge al mirall.
• $f$ és la distància focal del mirall.

La magnificació $M$, que indica la relació entre la mida de la imatge $h_i$ i la mida de l’objecte $h_o$, es calcula amb la següent equació:

$$M = \frac{h_i}{h_o} = -\frac{d_i}{d_o}$$

a) Quan la persona és a $1$ m del vèrtex del mirall

• $d_o = 1 \, \text{m}$
• $f = 3.5 \, \text{m}$

Substituïm els valors a l’equació del mirall:

$$\frac{1}{3.5} = \frac{1}{1} + \frac{1}{d_i}$$

Resolvint per $d_i$:

$$\frac{1}{d_i} = \frac{1}{3.5} – 1 = 0.2857 – 1 = -0.7143$$

$$d_i = \frac{1}{-0.7143} \approx -1.4 \, \text{m}$$

Així, la imatge es forma a ( d_i = -1.4 \, \text{m} ), és a dir, davant del mirall (imatge virtual).

Magnificació:

$$M = -\frac{d_i}{d_o} = -\frac{-1.4}{1} = 1.4$$

Per tant, la mida de la imatge és:

$$h_i = M \cdot h_o = 1.4 \cdot 170 \, \text{cm} = 238 \, \text{cm}$$

Característiques de la imatge: La imatge és virtual, dreta i més gran que l’objecte (magnificada).

b) Quan la persona és a 6 m del vèrtex del mirall

• $d_o = 6 \, \text{m}$
• $f = 3.5 \, \text{m}$

Substituïm a l’equació del mirall:

$$\frac{1}{3.5} = \frac{1}{6} + \frac{1}{d_i}$$

Resolvint per $d_i$:

$$\frac{1}{d_i} = \frac{1}{3.5} – \frac{1}{6} = 0.2857 – 0.1667 = 0.119$$

$$d_i = \frac{1}{0.119} \approx 8.4 \, \text{m}$$

Així, la imatge es forma a $d_i = 8.4 \, \text{m}$, darrere del mirall.

Magnificació:

$$M = -\frac{d_i}{d_o} = -\frac{8.4}{6} = -1.4$$

La mida de la imatge és:

$$h_i = M \cdot h_o = -1.4 \cdot 170 = -238 \, \text{cm}$$

Característiques de la imatge: La imatge és real, invertida i més gran que l’objecte (magnificada).

c) Quan la persona és a $9$ m del vèrtex del mirall

• $d_o = 9 \, \text{m}$
• $f = 3.5 \, \text{m}$

Substituïm a l’equació del mirall:

$$\frac{1}{3.5} = \frac{1}{9} + \frac{1}{d_i}$$

Resolvint per $d_i$:

$$\frac{1}{d_i} = \frac{1}{3.5} – \frac{1}{9} = 0.2857 – 0.1111 = 0.1746$$

$$d_i = \frac{1}{0.1746} \approx 5.73 \, \text{m}$$

Així, la imatge es forma a $d_i = 5.73 \, \text{m}$.

Magnificació:

$$M = -\frac{d_i}{d_o} = -\frac{5.73}{9} = -0.637$$

La mida de la imatge és:

$$h_i = M \cdot h_o = -0.637 \cdot 170 = -108.29 \, \text{cm}$$

Característiques de la imatge: La imatge és real, invertida i més petita que l’objecte (reduïda).

---

Resum final:

• a) 1 m: Imatge virtual, dreta, magnificada $238$ cm.
• b) 6 m: Imatge real, invertida, magnificada $238$ cm.
• c) 9 m: Imatge real, invertida, reduïda $108.29$ cm.