Quantitat de ferro en sèrum. Distribució normal

La quantitat de ferro en sèrum d’una dona adulta segueix una distribució normal de mitjana $120$ $\mu$g/dL i desviació típica $30$ $\mu$g/dL. Es considera que una dona té un tipus d’anèmia per manca de ferro si la quantitat de ferro no arriba a $75$ $\mu$g/dL. a) Quina és la probabilitat que una dona adulta tingui anèmia per falta de ferro? b) El $45\%$ de dones adultes tenen una quantitat de ferro en sèrum superior a $k$. Esbrineu el valor de $k$.

Per resoldre els problemes relacionats amb la distribució normal, utilitzarem la funció de distribució acumulada (FDA) de la distribució normal estandarditzada.

Donades les següents dades:

• Mitjana $\mu = 120$ μg/dl
• Desviació típica $\sigma = 30$ μg/dl

a) Probabilitat que una dona adulta tingui anèmia per manca de ferro

Una dona es considera que té anèmia si la quantitat de ferro en sèrum és inferior a $75$ μg/dl.

1. Primer, convertim el valor $75$ μg/dl a la unitat de la distribució normal estandarditzada ($Z$-score). La fórmula per calcular el $Z$-score és:

$$Z = \frac{X – \mu}{\sigma}$$

On:

• $X$ és el valor de la variable $75$ μg/dl
• $\mu$ és la mitjana $120$ μg/dl
• $\sigma$ és la desviació típica $30$ μg/dl

Substituïm els valors:

$$Z = \frac{75 – 120}{30} = \frac{-45}{30} = -1.5$$

2. Ara utilitzem la taula de la distribució normal estandarditzada per trobar la probabilitat associada a $Z = -1.5$. La taula ens proporciona la probabilitat acumulada fins al valor $Z$, és a dir, $P(Z < -1.5)$.

La probabilitat associada a $Z = -1.5$ és aproximadament $0.0668$.

Per tant, la probabilitat que una dona adulta tingui anèmia per manca de ferro és $0.0668$ (o $6.68\%$).

b) Valor de $k$ tal que el $45\%$ de les dones adultes tenen una quantitat de ferro en sèrum superior a $k$

El $45\%$ de les dones adultes tenen una quantitat de ferro superior a $k$. Això significa que el $55\%$ de les dones adultes tenen una quantitat de ferro inferior a $k$.

1. Trobarem el valor de $k$ corresponent al percentil $55$ de la distribució normal. Per trobar aquest percentil, primer busquem el valor $Z$ que correspon a una probabilitat acumulada de $0.55$.

Utilitzant la taula $Z$ o una calculadora de distribució normal, el valor $Z$ per a una probabilitat acumulada de $0.55$ és aproximadament $Z = 0.1257$.

2. Convertim aquest valor $Z$ al valor de la variable original utilitzant la fórmula inversa:

$$X = \mu + Z \sigma$$

On:

• $\mu$ és la mitjana $120$ μg/dl)
• $Z$ és el valor $Z$ calculat $0.1257$
• $\sigma$ és la desviació típica $30$ μg/dl

Substituïm els valors:

$$X = 120 + 0.1257 \times 30 \approx 120 + 3.77 = 123.77$$

Per tant, el valor de $k$ tal que el $45\%$ de les dones adultes tenen una quantitat de ferro en sèrum superior a $k$ és aproximadament $123.77$ μg/dl.