LEMNISCATA
Matemàtiques, física, química…
Problema sobre xarxes metàl·liques
Problema sobre xarxes metàl·liques
Per als sistemes de cristal·lització Cúbic Centrat a les Cares i Cúbic Centrat al Cos, indiqueu en els dos casos: a) Nombre d’àtoms que envolten cada àtom (índex de coordinació) b) Nombre d’àtoms present a cada cel·la unitària c) Costat de l’aresta de la cel·la per a un element de radi atòmic $0,13$ nm
a) Índex de coordinació (nombre d’àtoms que envolten cada àtom)
- Cúbic Centrat en les Cares (FCC):
- L’índex de coordinació d’una estructura FCC és $12$. Això significa que cada àtom està envoltat per $12$ àtoms veïns.
- Cúbic Centrat en el Cos (BCC):
- L’índex de coordinació d’una estructura BCC és $8$. Cada àtom està envoltat per $8$ àtoms veïns.
b) Nombre d’àtoms presents a cada cel·la unitària
- Cúbic Centrat en les Cares (FCC):
- En una cel·la unitària FCC hi ha $4$ àtoms.
- Explicació: A la cel·la FCC, cada cara té un àtom compartit amb altres cel·les, cosa que aporta $6 \times \frac{1}{2} = 3$ àtoms. A més, hi ha $8$ àtoms a les cantonades de la cel·la, cada un compartit per $8$ cel·les, cosa que aporta $8 \times \frac{1}{8} = 1$ àtom.
- Total: $3 + 1 = 4$ àtoms per cel·la unitària.
- Cúbic Centrat en el Cos (BCC):
- En una cel·la unitària BCC hi ha $2$ àtoms.
- Explicació: Hi ha $8$ àtoms a les cantonades de la cel·la, cada un compartit per $8$ cel·les, cosa que aporta $8 \times \frac{1}{8} = 1$ àtom. A més, hi ha un àtom completament dins de la cel·la al centre.
- Total: $1 + 1 = 2$ àtoms per cel·la unitària.
c) Costat de l’aresta de la cel·la per a un element de radi atòmic de $0,13$ nm
- Cúbic Centrat en les Cares (FCC):
- En una estructura FCC, el radi atòmic $r$ està relacionat amb el costat de la cel·la $a$ mitjançant la relació:
$$a = 2\sqrt{2}r$$ - Substituint $r = 0,13 \, \text{nm}$:
$$a = 2\sqrt{2} \times 0,13 = 2,828 \times 0,13 \approx 0,36764 \, \text{nm}$$ - Per tant, el costat de la cel·la per a FCC és aproximadament $0,368$ nm.
- Cúbic Centrat en el Cos (BCC):
- En una estructura BCC, el radi atòmic $r$ està relacionat amb el costat de la cel·la $a$ mitjançant la relació:
$$a = \frac{4r}{\sqrt{3}}$$ - Substituint $r = 0,13 \, \text{nm}$:
$$a = \frac{4 \times 0,13}{\sqrt{3}} = \frac{0,52}{1,732} \approx 0,3002 \, \text{nm}$$ - Per tant, el costat de la cel·la per a BCC és aproximadament $0,300$ nm.
Resum de resultats:
| Propietat | FCC | BCC |
|---|---|---|
| Índex de coordinació | $12$ | $8$ |
| Nombre d’àtoms per cel·la unitària | $4$ | $2$ |
| Costat de la cel·la per $r = 0,13 \, \text{nm}$ | $0,368$ nm | $0,300$ nm |
Tags
Sobre l'autor
Oscar Alex Fernandez Mora
Etern estudiant de la Rússia tsarista. Gran aficionat als destil·lats i als fermentats. Malaltís de llibres de la MIR i entusiasta del #LaTeX. Soci de l’ACBC. Important actiu del projecte Campana de Gauss www.campanadegauss.cat