LEMNISCATA
Matemàtiques
La densitat del potassi, que té una estructura BCC i un àtom per punt de xarxa és 0.855 g/cm3 . La massa atòmica del potassi és 39.09 g/mol. Calculeu: a) el paràmetre de xarxa i b) el radi atòmic del potassi
a) Càlcul del paràmetre de xarxa \( a \)La fórmula per calcular la densitat d’un metall en una xarxa cúbica centrada en el cos és:\[\text{Densitat} = \frac{n \cdot M}{N_A \cdot a^3}\]On:
– \( n = 2 \) és el nombre d’àtoms per cel·la unitat en una estructura CC,
– \( M = 39.09 \, \text{g/mol} \) és la massa atòmica del potassi,
– \( N_A = 6.022 \times 10^{23} \, \text{àtoms/mol} \) és el nombre d’Avogadro,- \( a^3 \) és el volum de la cel·la unitat (que volem calcular),
– \( \text{Densitat} = 0.855 \, \text{g/cm}^3 \) és la densitat del potassi.
Reordenant la fórmula per trobar el paràmetre de xarxa \( a \):\[a^3 = \frac{n \cdot M}{N_A \cdot \text{Densitat}}\]Substituïm les dades:\[a^3 = \frac{2 \cdot 39.09 \, \text{g/mol}}{6.022 \times 10^{23} \, \text{àtoms/mol} \cdot 0.855 \, \text{g/cm}^3}\]Calculem el denominador:\[6.022 \times 10^{23} \times 0.855 = 5.146 \times 10^{23}\]Ara, calculem \( a^3 \):\[a^3 = \frac{78.18}{5.146 \times 10^{23}} = 1.519 \times 10^{-22} \, \text{cm}^3\]Ara trobem \( a \) prenent l’arrel cúbica:\[a = \sqrt[3]{1.519 \times 10^{-22}} \approx 5.32 \times 10^{-8} \, \text{cm}\]Convertim aquest resultat a Ångstroms (\( 1 \, \text{Å} = 10^{-8} \, \text{cm} \)):\[a \approx 5.32 \, \text{Å}\]Per tant, el paràmetre de xarxa \( a \) del potassi és aproximadament 5.32 Å.
b) Càlcul del radi atòmic. En una estructura cúbica centrada en el cos (CC), la relació entre el radi atòmic \( r \) i el paràmetre de xarxa \( a \) és:\[\sqrt{3}a = 4r\]Aïllant \( r \):\[r = \frac{\sqrt{3}a}{4}\]Substituïm el valor de \( a = 5.32 \, \text{Å} \):\[r = \frac{\sqrt{3} \times 5.32}{4}\approx 2.31 \, \text{Å}\] Per tant, el radi atòmic \( r \) del potassi és aproximadament 2.31 Å.
Resultats finals:
– El paràmetre de xarxa \( a \) és aproximadament 5.32 Å.
– El radi atòmic \( r \) és aproximadament 2.31 Å.