Problema sobre xarxes cristal·lines 13

Calculeu el radi atòmic del pal·ladi sabent que té una estructura cristal·lina FCC, una densitat de $12,0$ g/cm$^3$ i un pes atòmic de $106,4$ g/mol. b) El niobi té un radi atòmic de $0,1430$ nm i una densitat de $8,57$ g/cm$^3$. Determinar si té estructura cristal·lina FCC o BCC

Part a) Calcular el radi atòmic del Pal·ladi (Pd)

El pal·ladi té una estructura cristal·lina FCC (cúbica centrada en les cares), una densitat de $12,0 \, \text{g/cm}^3$ i un pes atòmic de $106,4 \, \text{g/mol}$.

Per a una estructura FCC, sabem el següent:

• El nombre d’àtoms per cel·la unitària és $4$.
• La relació entre el radi atòmic $r$ i la longitud de l’aresta de la cel·la unitària $a$ és $a = \frac{4r}{\sqrt{2}}$.

La densitat $\rho$ d’un cristall FCC està donada per la fórmula:
$$\rho = \frac{n \cdot M}{a^3 \cdot N_A}$$
on:

• $\rho$ és la densitat ($12,0 \, \text{g/cm}^3$),
• $n$ és el nombre d’àtoms per cel·la unitària ($4$ per a FCC),
• $M$ és el pes atòmic de l’element ($106,4 \, \text{g/mol}$),
• $a$ és la longitud de l’aresta de la cel·la unitària,
• $N_A$ és el nombre d’Avogadro ($6,022 \times 10^{23} \, \text{àtoms/mol}$).

Primer, despejarem $a$ de la fórmula de la densitat:
$$a^3 = \frac{n \cdot M}{\rho \cdot N_A}$$
Després, fem servir la relació $a = \frac{4r}{\sqrt{2}}$ per trobar el radi atòmic $r$.

Part b) Determinar l’estructura cristal·lina del Niobi (Nb)

Dades:

• El radi atòmic del niobi és $r = 0,1430 \, \text{nm} = 0,1430 \times 10^{-7} \, \text{cm}$,
• La densitat del niobi $\rho = 8,57 \, \text{g/cm}^3$,
• El pes atòmic del niobi $M = 92,91 \, \text{g/mol}$,
• El nombre d’Avogadro $N_A = 6,022 \times 10^{23} \, \text{àtoms/mol}$.

Per a una estructura FCC, la relació entre el radi atòmic $r$ i la longitud de l’aresta $a$ és:
$$a = \frac{4r}{\sqrt{2}} \quad \text{(per a FCC)}$$
Per a una estructura BCC, la relació és:
$$a = \frac{4r}{\sqrt{3}} \quad \text{(per a BCC)}$$

Per a ambdues estructures, fem servir la fórmula de la densitat:
$$\rho = \frac{n \cdot M}{a^3 \cdot N_A}$$
on $n = 4$ per a FCC i $n = 2$ per a BCC.

Calcularem $a$ per a ambdues estructures i verificarem si la densitat calculada coincideix amb la densitat donada ($8,57 \, \text{g/cm}^3$).

Càlculs:

Resultats

• El radi atòmic del pal·ladi és de $0,138$ nm.
• Per al niobi:
• La densitat calculada per a una estructura FCC és $9,33$ g/cm$^3$.
• La densitat calculada per a una estructura BCC és $8,57$ g/cm$^3$, que coincideix amb la densitat donada, pel que la seva estructura cristal·lina és BCC.