Problema sobre rang de matrius

Problema sobre rang de matrius
1 d'octubre de 2024 No hi ha comentaris Àlgebra, Matemàtiques Oscar Alex Fernandez Mora

Consideri les matrius

$$A=\left(\begin{array}{cc} -1 & 2 \\ 2 & m \end{array}\right)\ \text{ y } B=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 \\ -2 & m & 0 \\ 3 & 2 & m \end{array}\right)$$

Troba el valor, o els valors, de $m$ per als quals $A$ i $B$ tenen el mateix rang.


$$|A|=\left|\begin{array}{cc} -1 & 2 \\ 2 & m \end{array}\right|=-m-4$$

Si $m=-4\hspace{5pt}\Rightarrow\hspace{5pt}ran(A)=1$
Si $m\neq -4\hspace{5pt}\Rightarrow\hspace{5pt}ran(A)=2$
$$|B|=\left|\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 \\ -2 & m & 0 \\ 3 & 2 & m \end{array}\right|=m^2+4m=m(m+4)$$

Si $m\neq 0\ \text{ y } m\neq-4\hspace{5pt}\Rightarrow\hspace{5pt}ran(B)=3$
Si $m=0\hspace{5pt}\Rightarrow\hspace{5pt}\left|\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ -2 & 0\end{array}\right|=4\neq 0\hspace{5pt}\Rightarrow\hspace{5pt}ran(B)=2$
Si $m=-4\hspace{5pt}\Rightarrow\hspace{5pt}\left|\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 2\end{array}\right|=-4\neq 0\hspace{5pt}\Rightarrow\hspace{5pt}ran(B)=2$
Per tant, per a l’únic valor que coincideixen els rangs, és per a $\boxed{m=0}$

Determina, si n’hi ha, els valors de $m$ per als quals $A$ i $B$ tenen el mateix determinant.

$$\left.\begin{array}{l}|A|=-m-4\|B|=m^2+4m\end{array}\right\}\Rightarrow |A|=|B|\Rightarrow-m-4=m^2+4m\Rightarrow m^2+5m+4=0$$

$$\Rightarrow\hspace{5pt}m=\dfrac{-5\pm\sqrt{25-4\cdot 4}}{2}=\dfrac{-5\pm 3}{2}\hspace{5pt}\Rightarrow\hspace{5pt} \boxed{m=-4}\ \text{ y } \boxed{m=-1}$$

Sobre l'autor
Oscar Alex Fernandez Mora Etern estudiant de la Rússia tsarista. Gran aficionat als destil·lats i als fermentats. Malaltís de llibres de la MIR i entusiasta del #LaTeX. Soci de l’ACBC. Important actiu del projecte Campana de Gauss

Leave a reply

L'adreça electrònica no es publicarà. Els camps necessaris estan marcats amb *