Problema sobre matrius

Es consideren les següents matrius $A$ i $B$: $$A = \begin{pmatrix}2 & 1 & -3 \\ 0 & 4 & 5 \\ -1 & 2 & 3\end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ -3 & 5 & 1 \\ 4 & -1 & 0 \end{pmatrix}$$

1. Calcula $A + B$.
2. Multiplicació per un escalar:
3. Calcula $2A – 3B$.
4. Producte de matrius: Troba el producte $A \cdot B$.
5. Transposada d’una matriu: Troba la transposada de la matriu $A$, és a dir, $A^T$.
6. Verificació de propietats:
   • f1) Verifica si es compleix que $A \cdot B \neq B \cdot A$ (comprova si la multiplicació de matrius és commutativa).
   • f2) Comprova si $(A + B)^T = A^T + B^T$.

1. Suma de matrius $A + B$:

$$A + B = \begin{pmatrix}
2 & 1 & -3 \\
0 & 4 & 5 \\
-1 & 2 & 3
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
1 & 0 & -2 \\
-3 & 5 & 1 \\
4 & -1 & 0
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
2+1 & 1+0 & -3+(-2) \\
0+(-3) & 4+5 & 5+1 \\
-1+4 & 2+(-1) & 3+0
\end{pmatrix}$$

$$A + B = \begin{pmatrix}
3 & 1 & -5 \\
-3 & 9 & 6 \\
3 & 1 & 3
\end{pmatrix}$$

2. Multiplicació per un escalar $2A – 3B$:

Primer calculem $2A$:

$$2A = 2 \cdot \begin{pmatrix}
2 & 1 & -3 \\
0 & 4 & 5 \\
-1 & 2 & 3
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
4 & 2 & -6 \\
0 & 8 & 10 \\
-2 & 4 & 6
\end{pmatrix}$$

I ara $3B$:

$$3B = 3 \cdot \begin{pmatrix}
1 & 0 & -2 \\
-3 & 5 & 1 \\
4 & -1 & 0
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
3 & 0 & -6 \\
-9 & 15 & 3 \\
12 & -3 & 0
\end{pmatrix}$$

Ara restem les dues matrius:

$$2A – 3B = \begin{pmatrix}
4 & 2 & -6 \\
0 & 8 & 10 \\
-2 & 4 & 6
\end{pmatrix} – \begin{pmatrix}
3 & 0 & -6 \\
-9 & 15 & 3 \\
12 & -3 & 0
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
4-3 & 2-0 & -6-(-6) \\
0-(-9) & 8-15 & 10-3 \\
-2-12 & 4-(-3) & 6-0
\end{pmatrix}$$

$$2A – 3B = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 0 \
9 & -7 & 7 \
-14 & 7 & 6
\end{pmatrix}$$

3. Producte de matrius $A \cdot B$:

Multipliquem $A$ per $B$:

$$A \cdot B = \begin{pmatrix}
2 & 1 & -3 \\
0 & 4 & 5 \\
-1 & 2 & 3
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
1 & 0 & -2 \\
-3 & 5 & 1 \\
4 & -1 & 0
\end{pmatrix}$$

Multipliquem fila per columna:

$$A \cdot B = \begin{pmatrix}
2(1) + 1(-3) + (-3)(4) & 2(0) + 1(5) + (-3)(-1) & 2(-2) + 1(1) + (-3)(0) \\
0(1) + 4(-3) + 5(4) & 0(0) + 4(5) + 5(-1) & 0(-2) + 4(1) + 5(0) \\
-1(1) + 2(-3) + 3(4) & -1(0) + 2(5) + 3(-1) & -1(-2) + 2(1) + 3(0)
\end{pmatrix}$$

$$A \cdot B = \begin{pmatrix}
2 – 3 – 12 & 0 + 5 + 3 & -4 + 1 + 0 \\
0 – 12 + 20 & 0 + 20 – 5 & 0 + 4 + 0 \\
-1 – 6 + 12 & 0 + 10 – 3 & 2 + 2 + 0
\end{pmatrix}$$

$$A \cdot B = \begin{pmatrix}
-13 & 8 & -3 \\
8 & 15 & 4 \\
5 & 7 & 4
\end{pmatrix}$$

4. Transposada de $A$ $A^T$:

$$A^T = \begin{pmatrix}
2 & 0 & -1 \\
1 & 4 & 2 \\
-3 & 5 & 3
\end{pmatrix}$$

5. Verificació de propietats: a) Verifiquem si $A \cdot B \neq B \cdot A$. Ara calculem $B \cdot A$:

$$B \cdot A = \begin{pmatrix}
1 & 0 & -2 \\
-3 & 5 & 1 \\
4 & -1 & 0
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
2 & 1 & -3 \\
0 & 4 & 5 \\
-1 & 2 & 3
\end{pmatrix}$$

Repetim el procés de multiplicació de matrius. El resultat final és diferent del que hem trobat per $A \cdot B$, per tant, la multiplicació no és commutativa.

b) Verifiquem si $(A + B)^T = A^T + B^T$. Ja tenim $A + B$ i $A^T$. Calculem $(A + B)^T$ i $A^T + B^T$ per verificar que són iguals.