Discussió rang matriu i càlcul de la seva inversa

Considereu la matriu $\begin{pmatrix} 1 & -1 & m+2 \\ 0 & 1 & m+1 \\ m & 0 & 5\end{pmatrix}$. a) Estudieu el rang de $A$ segons els valors de $m$. b) Per a $m=2$, calculeu la inversa de $2020\cdot A$.

Anem a estudiar els dos punts que proposes sobre la matriu $A$.

La matriu $A$ és:
$$A = \begin{pmatrix}
1 & -1 & m+2 \\
0 & 1 & m+1 \\
m & 0 & 5
\end{pmatrix}$$

1. Estudi del rang de $A$ segons els valors de $m$

Per estudiar el rang de la matriu $A$, hem de veure quants vectors linealment independents formen les files o les columnes de la matriu. Això ho podem fer a través del càlcul del determinant de les submatrius, començant pel determinant de la matriu completa.

El determinant de $A$, $\det(A)$, és:

$$\det(A) = \begin{vmatrix}
1 & -1 & m+2 \\
0 & 1 & m+1 \\
m & 0 & 5
\end{vmatrix}$$

Calcularem aquest determinant. Si el determinant és diferent de zero, el rang de la matriu és $3$ (matriu completa). Si el determinant és zero, haurem de calcular submatrius més petites per determinar el rang.

Anem a calcular el determinant.

El determinant de la matriu $A$ és:

$$\det(A) = -2m^2 – 3m + 5$$

Ara, per estudiar el rang segons els valors de $m$, hem de veure quan aquest determinant és zero. Resoldrem l’equació:

$$-2m^2 – 3m + 5 = 0$$

Si no té solucions reals, el determinant no serà zero per a cap valor de $m$, la qual cosa implicaria que el rang de la matriu és $3$ per a qualsevol valor de $m$. Si hi ha valors de $m$ que anul·lin el determinant, haurem de continuar amb el càlcul del rang per a aquests casos.

Anem a resoldre aquesta equació.

L’equació $-2m^2 – 3m + 5 = 0$ té dues solucions reals:

$$m = -\frac{5}{2} \quad \text{i} \quad m = 1$$

Això significa que:

• Quan $m \neq -\frac{5}{2}$ i $m \neq 1$, el determinant és diferent de zero, per tant, el rang de la matriu és $3$.
• Quan $m = -\frac{5}{2}$ o $m = 1$, el determinant és zero, i el rang de la matriu pot ser inferior a $3$. Per aquests valors, haurem de calcular submatrius més petites per determinar si el rang és $2$ o inferior.

Anem a calcular el rang de la matriu en aquests dos casos.

Quan $m = -\frac{5}{2}$ o $m = 1$, el rang de la matriu és $2$, ja que el determinant és zero i per tant no és completa.

Per tant, podem concloure:

• Si $m \neq -\frac{5}{2}$ i $m \neq 1$, el rang de $A$ és $3$.
• Si $m = -\frac{5}{2}$ o $m = 1$, el rang de $A$ és $2$.

2. Càlcul de la inversa de $2020 \cdot A$ per a $m = 2$

Substituïm $m = 2$ a la matriu $A$:

$$A = \begin{pmatrix}
1 & -1 & 4 \\
0 & 1 & 3 \\
2 & 0 & 5
\end{pmatrix}$$

Ara, volem calcular la inversa de la matriu $A$. Per trobar la inversa d’una matriu $A$, utilitzem la fórmula:

$$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A)$$

On $\det(A)$ és el determinant de $A$ i $\text{adj}(A)$ és l’adjunta de $A$.

1. Determinant de $A$:
   Ja sabem que el determinant de la matriu original $A$ és $\det(A) = -2m^2 – 3m + 5$. Substituïm $m = 2$:

$$\det(A) = -2(2)^2 – 3(2) + 5 = -8 – 6 + 5 = -9$$

2. Adjunta de $A$:
   Calculem la matriu adjunta. L’adjunta és la transposada de la matriu de cofactors. Els cofactors es calculen eliminant la fila i columna corresponent, i calculant el determinant de la submatriu restant.

• Càlcul dels menors i cofactors per a cada element de la matriu:

$$C_{11} = \det \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} = 5, \quad C_{12} = -\det \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} = -6, \quad C_{13} = \det \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} = -2$$

$$C_{21} = -\det \begin{pmatrix} -1 & 4 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} = 5, \quad C_{22} = \det \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} = -3, \quad C_{23} = -\det \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} = 2$$

$$C_{31} = \det\begin{pmatrix} -1 & 4 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} = -7, \quad C_{32} = -\det\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = -3, \quad C_{33} = \det \begin{pmatrix} 1 & -1 \ 0 & 1 \end{pmatrix} = 1$$

L’adjunta de la matriu és la transposada de la matriu de cofactors:

$$\text{adj}(A) = \begin{pmatrix}
5 & 5 & -7 \\
-6 & -3 & -3 \\
-2 & 2 & 1
\end{pmatrix}$$

3. Càlcul de la inversa de $A$:

Utilitzem la fórmula $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A)$:

$$A^{-1} = \frac{1}{-9} \cdot \begin{pmatrix} 5 & 5 & -7 \\ -6 & -3 & -3 \\ -2 & 2 & 1 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
-\frac{5}{9} & -\frac{5}{9} & \frac{7}{9} \\
\frac{2}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\
\frac{2}{9} & -\frac{2}{9} & -\frac{1}{9}
\end{pmatrix}$$

4. Càlcul de la inversa de $2020 \cdot A$:

Finalment, la inversa de $2020 \cdot A$ és simplement:

$$(2020 \cdot A)^{-1} = \frac{1}{2020} \cdot A^{-1}$$

Multiplicant la matriu anterior per $\frac{1}{2020}$, obtenim:

$$(2020 \cdot A)^{-1} = \frac{1}{2020} \cdot \begin{pmatrix}
-\frac{5}{9} & -\frac{5}{9} & \frac{7}{9} \\
\frac{2}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\
\frac{2}{9} & -\frac{2}{9} & -\frac{1}{9}
\end{pmatrix}$$

Aquesta és la inversa de $2020 \cdot A$ per a $m = 2$.