Problema sobre equacions matricials

Siguin les matrius $$ A=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ -2 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & -1\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 1\end{pmatrix} ,\quad C=\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$$ Determinar la matriu $X$ que verifica $AX-B^t=2C$ ($B^t$ és la matriu trasposta de $B$)

Tenim l’equació matricial:

$$AX – B^t = 2C$$

On:

• $A$ és una matriu de dimensió $3 \times 3$,
• $B^t$ és la transposada de la matriu $B$, que serà de dimensió $3 \times 2$,
• $C$ és una matriu de dimensió $3 \times 2$, i
• $X$ serà una matriu de dimensió $3 \times 2$ (mateixa dimensió que $B^t$ i $C$.

Pas 1: Trobar $B^t$

La transposada de $B$ (matriu $B^t$) s’obté intercanviant files per columnes. Així doncs, si $B$ és:

$$B = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$$

Llavors la seva transposada és:

$$B^t = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Pas 2: Reorganitzar l’equació per trobar $X$

L’equació original és:

$$AX – B^t = 2C$$

Podem reorganitzar-la per obtenir $AX$ en termes de $B^t$ i $C$:

$$AX = 2C + B^t$$

Substituïm les matrius $B^t$ i $C$:

$$AX = 2 \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$\

Càlcul del costat dret:

$$AX = \begin{pmatrix} -4 & 2 \\ 2 & -4 \\ 0 & 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 3 & -2 \\ 0 & 7 \end{pmatrix}$$

Pas 3: Trobar $X$

Ara tenim l’equació:

$$AX = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 3 & -2 \\ 0 & 7 \end{pmatrix}$$

Per trobar $X$, multipliquem pel costat esquerre la inversa de la matriu $A$, és a dir:

$$X = A^{-1} \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 3 & -2 \\ 0 & 7 \end{pmatrix}$$

Anem a calcular la inversa de la matriu $A$.

Per trobar la inversa de $A$, utilitzem la fórmula:

$$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A)$$

Pas 1: Càlcul del determinant de $A$

La matriu $A$ és:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ -2 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}$$

El determinant de $A$ es calcula així:

$$\det(A) = 1 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} – (-2) \cdot \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} -2 & -1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix}$$

Calculem els menors $2×2$:

$$\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = (-1)(-1) – (1)(0) = 1$$
$$\begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = (-2)(-1) – (1)(1) = 2 – 1 = 1$$
$$\begin{vmatrix} -2 & -1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = (-2)(0) – (-1)(1) = 0 + 1 = 1$$

Per tant, el determinant de $A$ és:

$$\det(A) = 1 \cdot 1 – (-2) \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 1 + 2 + 1 = 4$$

Pas 2: Càlcul de la matriu trasposada $A^t$

La matriu trasposada és:

La transposada de la matriu $A$, que es denota com $A^t$, es calcula intercanviant les files per les columnes. Per tant, la transposada de la matriu $A$ és:

$$A^t = \begin{pmatrix}
1 & -2 & 1 \\
-2 & -1 & 0 \\
1 & 1 & -1
\end{pmatrix}$$

Pas 3: Matriu adjunta d’$A^t$ és $(A^t)^{adj}$

La matriu $(A^t)^{adj}$ és:

$$(A^t)^{adj} = \begin{pmatrix} 1 & -2 & -1 \\ -1 & -2 & -3 \\ 1 & -2 & -5 \end{pmatrix}$$

Pas 4: Matriu inversa és:

$$A^{-1} = \frac{1}{\Delta}\cdot(A^t)^{adj} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 1 & -2 & -1 \\ -1 & -2 & -3 \\ 1 & -2 & -5 \end{pmatrix}$$

Ara podem trobar $X = A^{-1} \cdot \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 3 & -2 \\ 0 & 7 \end{pmatrix}$.

$$X = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 1 & -2 & -1 \\ -1 & -2 & -3 \\ 1 & -2 & -5 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 3 & -2 \\ 0 & 7 \end{pmatrix}$$

Tot obtenint:

$$X = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} -7 & 2 \\ -5 & -18 \\ -7 & -30 \end{pmatrix}$$