LEMNISCATA
Matemàtiques
Per resoldre l’equació matricial $A \cdot X + 2B = 3C$ donada amb les matrius
$$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & m & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$
L’equació es pot reescriure com:
$$A \cdot X = 3C – 2B$$
Primer, calculem $3C$ i $2B$:
$$3C = 3 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 3 \end{pmatrix}$$
$$2B = 2 \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 2 \\ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
Ara, calculem $3C – 2B$:
$$3C – 2B = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 3 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} 0 & 2 & 2 \\ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -2 & -2 \\ -2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 3 \end{pmatrix}$$
Ara hem de resoldre l’equació:
$$A \cdot X = \begin{pmatrix} 3 & -2 & -2 \\ -2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 3 \end{pmatrix}$$
Perquè l’equació tingui solució, és necessari que $A$ tingui rang igual al rang de la matriu del costat dret. Per determinar això, calculem el determinant de la matriu $A$:
$$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & m & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$
El determinant de la matriu $A$ es pot calcular així:
$$\det(A) = 1 \cdot \begin{vmatrix} m & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (m \cdot 1 – 0 \cdot 1) = m$$
La matriu $A$ és invertible (i, per tant, l’equació té solució) quan el seu determinant és diferent de zero:
$$m \neq 0$$
Per tant, l’equació $A \cdot X + 2B = 3C$ té solució per a $m \neq 0$.
Ara resolem l’equació:
$$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$
I l’equació que tenim és:
$$A \cdot X = \begin{pmatrix} 3 & -2 & -2 \\ -2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 3 \end{pmatrix}$$
Per resoldre $A \cdot X = \begin{pmatrix} 3 & -2 & -2 \\ -2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 3 \end{pmatrix}$, calculem la inversa de $A$:
$$\det(A) = 1 \quad \text{(ja que ( m = 1 ))}$$
Per calcular la inversa de $A$, utilitzem la fórmula:
$$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A)$$
La matriu adjunta es calcula trobant els cofactors de $A$:
$$\text{adj}(A) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}$$
Per tant:
$$A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}$$
Ara multipliquem $A^{-1}$ per $3C – 2B$:
$$X = A^{-1} \cdot \begin{pmatrix} 3 & -2 & -2 \\ -2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 3 \end{pmatrix}$$
Fem la multiplicació:
$$X = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & -2 & -2 \\ -2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 3 \end{pmatrix}$$
La solució $X$ és:
$$X = \begin{pmatrix} 3 & -2 & -2 \\ -5 & 5 & 2 \\ 5 & -3 & 3 \end{pmatrix}$$
$$X = \begin{pmatrix} 3 & -2 & -2 \\ -5 & 5 & 2 \\ 5 & -3 & 3 \end{pmatrix}$$