Equacions matricials

Equacions matricials
20 d'octubre de 2024 No hi ha comentaris Àlgebra, Matemàtiques Oscar Alex Fernandez Mora

Considerar les matrius $$A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 1 & m & 0 \\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix}\quad\text{,}\quad B=\begin{pmatrix}0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \quad\text{i}\quad C=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{pmatrix}$$ a)Per a quins valors de $m$ té solució l’equació matricial $A\cdot X+2B=3C$?. b) Resol l’equació matricial donada per a $m=1$.

Per resoldre l’equació matricial $A \cdot X + 2B = 3C$ donada amb les matrius

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & m & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

1. Determinar per a quins valors de $m$ té solució l’equació

L’equació es pot reescriure com:

$$A \cdot X = 3C – 2B$$

Primer, calculem $3C$ i $2B$:

$$3C = 3 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 3 \end{pmatrix}$$

$$2B = 2 \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 2 \\ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Ara, calculem $3C – 2B$:

$$3C – 2B = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 3 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} 0 & 2 & 2 \\ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -2 & -2 \\ -2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 3 \end{pmatrix}$$

Ara hem de resoldre l’equació:

$$A \cdot X = \begin{pmatrix} 3 & -2 & -2 \\ -2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 3 \end{pmatrix}$$

Perquè l’equació tingui solució, és necessari que $A$ tingui rang igual al rang de la matriu del costat dret. Per determinar això, calculem el determinant de la matriu $A$:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & m & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$

1.1. Calcular el determinant de $A$

El determinant de la matriu $A$ es pot calcular així:

$$\det(A) = 1 \cdot \begin{vmatrix} m & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (m \cdot 1 – 0 \cdot 1) = m$$

1.2. Per a quins valors de $m$ té solució

La matriu $A$ és invertible (i, per tant, l’equació té solució) quan el seu determinant és diferent de zero:

$$m \neq 0$$

Per tant, l’equació $A \cdot X + 2B = 3C$ té solució per a $m \neq 0$.

2. Resoldre l’equació per a $m = 1$

Ara resolem l’equació:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$

I l’equació que tenim és:

$$A \cdot X = \begin{pmatrix} 3 & -2 & -2 \\ -2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 3 \end{pmatrix}$$

2.1. Calculem la inversa de $A$

Per resoldre $A \cdot X = \begin{pmatrix} 3 & -2 & -2 \\ -2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 3 \end{pmatrix}$, calculem la inversa de $A$:

$$\det(A) = 1 \quad \text{(ja que ( m = 1 ))}$$

Per calcular la inversa de $A$, utilitzem la fórmula:

$$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A)$$

La matriu adjunta es calcula trobant els cofactors de $A$:

$$\text{adj}(A) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}$$

Per tant:

$$A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}$$

2.2. Multipliquem per la matriu del costat dret

Ara multipliquem $A^{-1}$ per $3C – 2B$:

$$X = A^{-1} \cdot \begin{pmatrix} 3 & -2 & -2 \\ -2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 3 \end{pmatrix}$$

Fem la multiplicació:

$$X = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & -2 & -2 \\ -2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 3 \end{pmatrix}$$

2.3. Calculem $X$:

  1. Primera fila:
    $$1 \cdot 3 + 0 \cdot (-2) + 0 \cdot 3 = 3$$
    $$1 \cdot (-2) + 0 \cdot 3 + 0 \cdot 0 = -2$$
    $$1 \cdot (-2) + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 3 = -2$$
  2. Segona fila:
    $$-1 \cdot 3 + 1 \cdot (-2) + 0 \cdot 3 = -3 – 2 = -5$$
    $$-1 \cdot (-2) + 1 \cdot 3 + 0 \cdot 0 = 2 + 3 = 5$$
    $$-1 \cdot (-2) + 1 \cdot 0 + 0 \cdot 3 = 2 + 0 = 2$$
  3. Tercera fila:
    $$0 \cdot 3 – 1 \cdot (-2) + 1 \cdot 3 = 0 + 2 + 3 = 5$$
    $$0 \cdot (-2) – 1 \cdot 3 + 1 \cdot 0 = 0 – 3 + 0 = -3$$
    $$0 \cdot (-2) – 1 \cdot 0 + 1 \cdot 3 = 0 + 0 + 3 = 3$$

2.4. Resultat Final

La solució $X$ és:

$$X = \begin{pmatrix} 3 & -2 & -2 \\ -5 & 5 & 2 \\ 5 & -3 & 3 \end{pmatrix}$$

Resum de Resultats

  1. L’equació $A \cdot X + 2B = 3C$ té solució per a $m \neq 0$.
  2. Per a $m = 1$, la solució és:

$$X = \begin{pmatrix} 3 & -2 & -2 \\ -5 & 5 & 2 \\ 5 & -3 & 3 \end{pmatrix}$$

Tags
Sobre l'autor
Oscar Alex Fernandez Mora Etern estudiant de la Rússia tsarista. Gran aficionat als destil·lats i als fermentats. Malaltís de llibres de la MIR i entusiasta del #LaTeX. Soci de l’ACBC. Important actiu del projecte Campana de Gauss

Leave a reply

L'adreça electrònica no es publicarà. Els camps necessaris estan marcats amb *