Matriu invertible

Donada la matriu $$\boldsymbol{A} = \left( \begin{array}{crr} \lambda&1&1 \\ 0&\lambda&1 \\ \lambda-1&2&2 \end{array} \right)$$ a) Troba els valors de $\lambda$ que fan que $\boldsymbol{A}$ sigui invertible. b) Troba $\boldsymbol{A}^{-1}$ per $\lambda = 3$

$$\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix}
\lambda & 1 & 1 \\
0 & \lambda & 1 \\
\lambda – 1 & 2 & 2
\end{pmatrix}$$

El determinant d’una matriu $3 \times 3$ es pot calcular mitjançant la regla de Sarrus o cofactors. Usarem la regla de cofactors per a la primera fila:

$$\text{det}(\boldsymbol{A}) = \lambda \cdot \text{det}\begin{pmatrix}
\lambda & 1 \\
2 & 2
\end{pmatrix} – 1 \cdot \text{det}\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
\lambda – 1 & 2
\end{pmatrix} + 1 \cdot \text{det}\begin{pmatrix}
0 & \lambda \\
\lambda – 1 & 2
\end{pmatrix}$$

Càlcul dels determinats de les submatrius

1. Determinant de la primera submatriu:

$$\text{det}\begin{pmatrix}
\lambda & 1 \\
2 & 2
\end{pmatrix} = \lambda \cdot 2 – 1 \cdot 2 = 2\lambda – 2$$

2. Determinant de la segona submatriu:

$$\text{det}\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
\lambda – 1 & 2
\end{pmatrix} = 0 \cdot 2 – 1 \cdot (\lambda – 1) = -(\lambda – 1) = 1 – \lambda$$

3. Determinant de la tercera submatriu:

$$\text{det}\begin{pmatrix}
0 & \lambda \\
\lambda – 1 & 2
\end{pmatrix} = 0 \cdot 2 – \lambda \cdot (\lambda – 1) = -\lambda(\lambda – 1) = -\lambda^2 + \lambda$$

Sustitució dels resultats al determinant

Ara, substituïm els resultats dels determinants de les submatrizes en el càlcul del determinant de $\boldsymbol{A}$:

$$\text{det}(\boldsymbol{A}) = \lambda(2\lambda – 2) – 1(1 – \lambda) + (-\lambda^2 + \lambda)$$

Simplificant:

$$= \lambda(2\lambda – 2) – (1 – \lambda) – \lambda^2 + \lambda$$

Desenvolupant:

$$= 2\lambda^2 – 2\lambda – 1 + \lambda – \lambda^2 + \lambda$$

Combina els termes:

$$= 2\lambda^2 – \lambda^2 – 2\lambda + \lambda + \lambda – 1 = \lambda^2 – 1$$

Resultat final del determinant

Per tant, el determinant de la matriu $\boldsymbol{A}$ és:

$$\text{det}(\boldsymbol{A}) = \lambda^2 – 1$$

Condició d’invertibilitat

Per tal que $\boldsymbol{A}$ sigui invertible, el determinant ha de ser diferent de zero:

$$\lambda^2 – 1 \neq 0$$

Això es pot resoldre com:

$$(\lambda – 1)(\lambda + 1) \neq 0$$

Per tant, els valors de $\lambda$ que fan que $\boldsymbol{A}$ no sigui invertible són:

$$\lambda \neq 1 \quad \text{i} \quad \lambda \neq -1$$

Resum de resultats

• $\boldsymbol{A}$ és invertible per a tots els valors de (\lambda) excepte $\lambda = 1$ i $\lambda = -1$.

Per calcular la matriu inversa $\boldsymbol{A}^{-1}$ amb el mètode de Cramer, seguirem aquests passos. Com que tenim $\lambda = 3$, la matriu $\boldsymbol{A}$ és la següent:

$$\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix}
3 & 1 & 1 \\
0 & 3 & 1 \\
2 & 2 & 2
\end{pmatrix}$$

El mètode de Cramer implica calcular el determinant de la matriu i les matrius adjuntes. La fórmula per a la inversa d’una matriu $\boldsymbol{A}$ de $n \times n$ és:

$$\boldsymbol{A}^{-1} = \frac{1}{\det(\boldsymbol{A})} \cdot \text{Adj}( \boldsymbol{A})$$

On (\text{Adj}(\boldsymbol{A})) és la matriu adjunta, que es troba transposant la matriu de cofactors.

Pas 1: Calcula el determinant de $\boldsymbol{A}$

El determinant de la matriu $\boldsymbol{A}$ és:

$$\det(\boldsymbol{A}) = \begin{vmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \end{vmatrix}$$

Fem servir la primera fila per calcular el determinant:

$$\det(\boldsymbol{A}) = 3 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} – 1 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 3 \\ 2 & 2 \end{vmatrix}$$

Ara calculem els menors 2×2:

$$\det \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = 3 \cdot 2 – 1 \cdot 2 = 6 – 2 = 4$$

$$\det \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = 0 \cdot 2 – 1 \cdot 2 = -2$$

$$\det \begin{vmatrix} 0 & 3 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = 0 \cdot 2 – 3 \cdot 2 = -6$$

Substituint aquests resultats en la fórmula del determinant:

$$\det(\boldsymbol{A}) = 3 \cdot 4 – 1 \cdot (-2) + 1 \cdot (-6) = 12 + 2 – 6 = 8$$

Així que, $\det(\boldsymbol{A}) = 8$.

Pas 2: Calcula els cofactors de $\boldsymbol{A}$

Calculem els cofactors de cada element de la matriu $\boldsymbol{A}$:

• Cofactor $C_{11}$ (element $a_{11} = 3)$:

$$C_{11} = \det \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = 4$$

• Cofactor $C_{12}$ (element $a_{12} = 1$):

$$C_{12} = -\det \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = -(-2) = 2$$

• Cofactor $C_{13}$ (element $a_{13} = 1$):

$$C_{13} = \det \begin{vmatrix} 0 & 3 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = -6$$

• Cofactor $C_{21}$ (element $a_{21} = 0$):

$$C_{21} = -\det \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = -(0) = 0$$

• Cofactor $C_{22}$ (element $a_{22} = 3$):

$$C_{22} = \det \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = 4$$

• Cofactor $C_{23}$ (element $a_{23} = 1$):

$$C_{23} = -\det \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = -4$$

• Cofactor $C_{31}$ (element $a_{31} = 2$):

$$C_{31} = \det \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = -2$$

• Cofactor $C_{32}$ (element $a_{32} = 2$):

$$C_{32} = -\det \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -(1) = -1$$

• Cofactor $C_{33}$ (element $a_{33} = 2$):

$$C_{33} = \det \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} = 9$$

Pas 3: Construir la matriu de cofactors

La matriu de cofactors és:

$$\boldsymbol{C} = \begin{pmatrix}
4 & 2 & -6 \\
0 & 4 & -4 \\
-2 & -1 & 9
\end{pmatrix}$$

Pas 4: Trobar la matriu adjunta $\text{Adj}(\boldsymbol{A})$

La matriu adjunta és la transposada de la matriu de cofactors:

$$\text{Adj}(\boldsymbol{A}) = \begin{pmatrix}
4 & 0 & -2 \\
2 & 4 & -1 \\
-6 & -4 & 9
\end{pmatrix}$$

Pas 5: Trobar la inversa de $\boldsymbol{A}$

Ara, utilitzem la fórmula per a la inversa de la matriu:

$$\boldsymbol{A}^{-1} = \frac{1}{\det(\boldsymbol{A})} \cdot \text{Adj}(\boldsymbol{A}) = \frac{1}{8} \cdot \begin{pmatrix} 4 & 0 & -2 \\ 2 & 4 & -1 \\ -6 & -4 & 9 \end{pmatrix}$$

Multipliquem cada element de la matriu adjunta per $\frac{1}{8}$:

$$\boldsymbol{A}^{-1} = \begin{pmatrix}
\frac{4}{8} & 0 & \frac{-2}{8} \\
\frac{2}{8} & \frac{4}{8} & \frac{-1}{8} \\
\frac{-6}{8} & \frac{-4}{8} & \frac{9}{8}
\end{pmatrix}$$

Simplificant les fraccions:

$$\boldsymbol{A}^{-1} = \begin{pmatrix}
\frac{1}{2} & 0 & \frac{-1}{4} \\
\frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{-1}{8} \\
\frac{-3}{4} & \frac{-1}{2} & \frac{9}{8}
\end{pmatrix}$$

Resultat final:

La inversa de $\boldsymbol{A}$ és:

$$\boldsymbol{A}^{-1} = \begin{pmatrix}
\frac{1}{2} & 0 & \frac{-1}{4} \\
\frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{-1}{8} \\
\frac{-3}{4} & \frac{-1}{2} & \frac{9}{8}
\end{pmatrix}$$

1. $\boldsymbol{A}$ és invertible $\forall \lambda \in \mathbb{R} – \left\lbrace \pm 1 \right\rbrace$
2. $\boldsymbol{A}^{-1} = \displaystyle \frac{1}{8} \left( \begin{array}{rrr} 4&0&-2 \\ 2&4&-3 \\ -6&-4&9 \end{array}\right)$