Deducció de l’expressió de la tercera llei de Kepler

Enuncia la tercera llei de Kepler. Dedueix l’expressió de la d’aquesta llei en el cas d’òrbites circulars.

Tercera llei de Kepler (enunciat):

La tercera llei de Kepler estableix que:

“El quadrat del període orbital d’un planeta és proporcional al cub de la distància mitjana entre el planeta i el Sol.”

En altres paraules, per qualsevol planeta que orbita al voltant del Sol, el quadrat del seu període orbital $T$ és proporcional al cub de la seva distància mitjana (r) al Sol. Matemàticament, això es pot expressar com:
$$T^2 \propto r^3$$
Això vol dir que la relació entre $T^2$ i $r^3$ és constant per tots els planetes del sistema solar.

Deducció de la tercera llei de Kepler per a òrbites circulars:

Considerem ara un cos de massa $m$ orbitant circularment al voltant d’un cos molt més massiu (com un planeta al voltant del Sol) de massa $M$. La força que manté el cos en òrbita és la força de gravetat entre els dos cossos, que es pot expressar per la llei de la gravitació universal de Newton:

$$F = \frac{G M m}{r^2}$$
On:

• $F$ és la força gravitatòria,
• $G$ és la constant de gravitació universal,
• $M$ és la massa del Sol (o el cos central),
• $m$ és la massa del planeta (o el cos en òrbita),
• $r$ és la distància entre el planeta i el Sol.

Aquesta força gravitatòria és la que proporciona la força centrípeta necessària perquè el cos es mantingui en òrbita circular. La força centrípeta ve donada per:
$$F = \frac{m v^2}{r}$$
On $v$ és la velocitat orbital del cos en òrbita.

Com que la força centrípeta prové de la força de gravetat, igualem les dues expressions de $F$:
$$\frac{m v^2}{r} = \frac{G M m}{r^2}$$
Cancel·lant la massa $m$ en ambdós costats i multiplicant per $r$:
$$v^2 = \frac{G M}{r}$$

Ara, sabem que en una òrbita circular, la velocitat $v$ es pot relacionar amb el període orbital $T$ a través de la relació:
$$v = \frac{2\pi r}{T}$$
Substituint això en l’expressió anterior per $v^2$:
$$\left(\frac{2\pi r}{T}\right)^2 = \frac{G M}{r}$$
Això ens dóna:
$$\frac{4\pi^2 r^2}{T^2} = \frac{G M}{r}$$
Multiplicant per $r$ a ambdós costats:
$$4\pi^2 r^3 = G M T^2$$
Reordenant l’expressió per trobar $T^2$:
$$
T^2 = \frac{4\pi^2}{G M} r^3$$

Conclusió:

La deducció mostra que el quadrat del període orbital $T$ és proporcional al cub de la distància mitjana $r$, tal com enuncia la tercera llei de Kepler:
$$T^2 \propto r^3$$
Amb la constant de proporcionalitat donada per:
$$T^2 = \frac{4\pi^2}{G M} r^3$$

$$\frac{T^2}{r^3} = \frac{4\pi^2}{GM}$$
Aquesta expressió és vàlida per a òrbites circulars, però la tercera llei de Kepler també s’aplica a òrbites el·líptiques si $r$ es considera la semieix major de l’el·lipse.