Equacions dimensionals

Equacions dimensionals
18 d'octubre de 2024 No hi ha comentaris Física Oscar Alex Fernandez Mora

Suposem que la freqüència $\nu$ amb què oscil·la una gota de un líquid, quan se la deforma, depèn de la tensió superficial $\sigma$ (kg s$^{−2}$) del líquid, del radi $r$ de la gota i de la densitat $\rho$ del líquid. Utilitzant l’anàlisi dimensional, calcula l’equació de la freqüència d’oscil·lació de la gota.

L’anàlisi dimensional ens permet trobar una relació entre les magnituds físiques basant-nos en les seves dimensions. En aquest cas, volem trobar l’equació de la freqüència d’oscil·lació $\nu$ d’una gota, la qual depèn de la tensió superficial $\sigma$, el radi $r$ de la gota i la densitat $\rho$ del líquid.

Magnituds involucrades:

  • Frequència $\nu$: la seva dimensió és $[T]^{-1}$ (invers del temps).
  • Tensió superficial $\sigma$: la seva dimensió és $[M][T]^{-2}$ (força per unitat de longitud o energia per unitat de superfície).
  • Radi $r$: la seva dimensió és $[L]$ (longitud).
  • Densitat $\rho$: la seva dimensió és $[M][L]^{-3}$ (massa per unitat de volum).

Ara busquem una relació del tipus:
$$\nu \propto \sigma^a r^b \rho^c$$
On $a$, $b$ i $c$ són les potències que hem de determinar. Per fer-ho, substituïm les dimensions de cadascuna de les magnituds:

  • $\nu$: $[T]^{-1}$
  • $\sigma$: $[M][T]^{-2}$
  • $r$: $[L]$
  • $\rho$: $[M][L]^{-3}$

L’equació dimensional queda així:
$$[T]^{-1} = ([M][T]^{-2})^a \cdot [L]^b \cdot ([M][L]^{-3})^c$$

Desglossem les dimensions a la dreta:
$$[T]^{-1} = [M]^a [T]^{-2a} [L]^b [M]^c [L]^{-3c}$$
$$[T]^{-1} = [M]^{a+c} [T]^{-2a} [L]^{b – 3c}$$

Ara, igualem les potències de cada dimensió a banda i banda de l’equació:

  • Per la dimensió de la massa $[M]$: $a + c = 0$
  • Per la dimensió del temps $[T]$: $-2a = -1$, per tant, $a = \frac{1}{2}$
  • Per la dimensió de la longitud $[L]$: $b – 3c = 0$, per tant, $b = 3c$

Com que ja sabem que $a = \frac{1}{2}$, substituïm aquest valor a l’equació de la massa:
$$a + c = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{2} + c = 0 \quad \Rightarrow \quad c = -\frac{1}{2}$$

Finalment, substituïm $c = -\frac{1}{2}$ a l’equació de la longitud:
$$b = 3c = 3\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{3}{2}$$

Relació final:

Substituint els valors de $a$, $b$ i $c$ en la relació original:
$$\nu \propto \sigma^{\frac{1}{2}} r^{-\frac{3}{2}} \rho^{-\frac{1}{2}}$$

Així, l’equació per la freqüència d’oscil·lació de la gota és:
$$\nu = k \cdot \frac{\sigma^{\frac{1}{2}}}{r^{\frac{3}{2}} \rho^{\frac{1}{2}}}$$
On $k$ és una constant adimensional que depèn del sistema.

Sobre l'autor
Oscar Alex Fernandez Mora Etern estudiant de la Rússia tsarista. Gran aficionat als destil·lats i als fermentats. Malaltís de llibres de la MIR i entusiasta del #LaTeX. Soci de l’ACBC. Important actiu del projecte Campana de Gauss

Leave a reply

L'adreça electrònica no es publicarà. Els camps necessaris estan marcats amb *