Càlcul de l’error relatiu

Un fuster fa una porta de $2,50$ m d’alçada, obtenint un valor de $2,52$ m; un altre fuster, en mesurar la longitud d’una taula de $80$ cm obté $79$ cm. D’aquestes dues mides, quina és més precisa?

Per comparar la precisió de les mesures, hem de tenir en compte l’error relatiu de cadascuna. L’error relatiu es calcula dividint l’error absolut (la diferència entre la mesura obtinguda i la mesura verdadera) per la mesura verdadera. Després, es pot expressar com un percentatge multiplicant-lo per 100.

Les fórmules de l’error absolut i l’error relatiu són les següents:

1. Error absolut (\(E_a\)): \[ E_a = |V_{\text{real}} – V_{\text{aprox}}| \] On: – \(V_{\text{real}}\) és el valor real o exacte. – \(V_{\text{aprox}}\) és el valor aproximat.

2. Error relatiu (\(E_r\)): \[ E_r = \frac{E_a}{|V_{\text{real}}|} \] O, substituint \(E_a\): \[ E_r = \frac{|V_{\text{real}} – V_{\text{aprox}}|}{|V_{\text{real}}|} \]L’error relatiu es pot expressar en forma decimal o com un percentatge multiplicant per 100: \[ E_r (\%) = E_r \times 100 \]Aquestes fórmules s’utilitzen per quantificar la precisió d’una mesura o un càlcul aproximat.

Primera mesura: Porta

• Mesura verdadera: $2,50$ m
• Mesura obtinguda: $2,52$ m
• Error absolut $= |2,52 m – 2,50 m| = 0,02$ m

L’error relatiu serà:
$$\text{Error relatiu} = \frac{0,02 \text{ m}}{2,50 \text{ m}} = 0,008 \quad (0,8\%)$$

Segona mesura: Taula

• Mesura verdadera: $80,0 cm = 0,800$ m
• Mesura obtinguda: $79 cm = 0,790$ m
• Error absolut $= |0,800 m – 0,790 m| = 0,010$ m

L’error relatiu serà:
$$\text{Error relatiu} = \frac{0,010 \text{ m}}{0,800 \text{ m}} = 0,0125 \quad (1,25\%)$$

Comparació de precisió:

• Error relatiu en la mesura de la porta: $0,8\%$
• Error relatiu en la mesura de la taula: $1,25\%$

Conclusió: La mesura de la porta és més precisa, ja que el seu error relatiu és menor $0,8\%$ en comparació amb el de la taula $1,25\%$.