Problema sobre inferència estadística

Problema sobre inferència estadística
20 de gener de 2025 No hi ha comentaris Matemàtiques, Probabilitat Oscar Alex Fernandez Mora

En una zona escolar formada per tres centres de secundària, es vol estimar la proporció de l’alumnat que porta telèfon mòbil a l’institut. Es pren una mostra aleatòria simple de 121 estudiants, dels quals 74 el porten. a) Determineu un interval de confiança al $97%$ per a la proporció d’aquest alumnat que porta el mòbil a l’institut. Entre quins dos percentatges varia aquesta proporció a aquest nivell de confiança? b) Si amb la mateixa mostra es disminueix el nivell de confiança, quin efecte tindrà aquesta disminució en l’error d’estimació? c) Si a la mateixa zona es tria mitjançant mostreig aleatori estratificat amb afixació proporcional una altra mostra de 121 estudiants, considerant que el segon centre escolar té el doble d’alumnes que el primer i el tercer en té el triple que el primer, quants alumnes de cada centre s’han de prendre per constituir la mostra?

a) L’interval de confiança per a la proporció té la forma:
\begin{equation}
(p-E, p+E)
\end{equation}
on $p=\dfrac{74}{121}=0.6116$ és la proporció de la mostra d’alumnes que porten mòbil a l’institut. L’error és $E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{p(1-p)}n}$.
Per a un nivell de confiança del $97%$, tenim $z_{\alpha/2}=2.17$. Llavors,

\begin{equation}
E=2.17\sqrt{\dfrac{0.6116(1-0.6116)}{121}}=0.0961
\end{equation}
Per tant, l’interval de confiança és: $(0.5155, 0.7077)$, els percentatges corresponents són $51.55%$ i $70.77%$.

b) Segons l’expressió de l’error, $E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{p(1-p)}n}$, i sabent que $z_{\alpha/2}$ decreix amb el nivell de confiança, l’error també disminueix quan es redueix el nivell de confiança.

c) Al primer centre prendrem una mostra de $x$ individus. Al segon centre, en tenir el doble de població, prendrem una mostra de $2x$, i al tercer centre, en tenir el triple de població, una mostra de $3x$.
La mostra total ha de tenir $121$ individus, per tant:
\begin{equation}
x+2x+3x=121
\end{equation}
Resolent aquesta equació, obtenim $x=20.16$, d’on $2x=40.33$ i $3x=60.5$. Necessitem que aquests valors siguin enters. De totes les solucions possibles, ens quedem amb la que millor s’aproxima: $20$ per al primer centre, $40$ per al segon centre i $61$ per al tercer centre.

Tags
Sobre l'autor
Oscar Alex Fernandez Mora Etern estudiant de la Rússia tsarista. Gran aficionat als destil·lats i als fermentats. Malaltís de llibres de la MIR i entusiasta del #LaTeX. Soci de l’ACBC. Important actiu del projecte Campana de Gauss

Leave a reply

L'adreça electrònica no es publicarà. Els camps necessaris estan marcats amb *