LEMNISCATA
Matemàtiques
a) L’interval de confiança per a la proporció té la forma:
\begin{equation}
(p-E, p+E)
\end{equation}
on $p=\dfrac{74}{121}=0.6116$ és la proporció de la mostra d’alumnes que porten mòbil a l’institut. L’error és $E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{p(1-p)}n}$.
Per a un nivell de confiança del $97%$, tenim $z_{\alpha/2}=2.17$. Llavors,
\begin{equation}
E=2.17\sqrt{\dfrac{0.6116(1-0.6116)}{121}}=0.0961
\end{equation}
Per tant, l’interval de confiança és: $(0.5155, 0.7077)$, els percentatges corresponents són $51.55%$ i $70.77%$.
b) Segons l’expressió de l’error, $E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{p(1-p)}n}$, i sabent que $z_{\alpha/2}$ decreix amb el nivell de confiança, l’error també disminueix quan es redueix el nivell de confiança.
c) Al primer centre prendrem una mostra de $x$ individus. Al segon centre, en tenir el doble de població, prendrem una mostra de $2x$, i al tercer centre, en tenir el triple de població, una mostra de $3x$.
La mostra total ha de tenir $121$ individus, per tant:
\begin{equation}
x+2x+3x=121
\end{equation}
Resolent aquesta equació, obtenim $x=20.16$, d’on $2x=40.33$ i $3x=60.5$. Necessitem que aquests valors siguin enters. De totes les solucions possibles, ens quedem amb la que millor s’aproxima: $20$ per al primer centre, $40$ per al segon centre i $61$ per al tercer centre.