Determinar dimensió d’un susbespai

Determinar dimensió d’un susbespai
21 de gener de 2025 No hi ha comentaris Àlgebra, Matemàtiques Oscar Alex Fernandez Mora

Sigui S un subespai generat pels següents vectors de $R^3$: ${ (1+ a,1,1), (1,1+ a,1), (1,1,1+ a) }$. Determina en funció de a la dimensió del subespai $S$.

Sigui \( S \) un subespai generat pels següents vectors de \(\mathbb{R}^3\):
\[
\{ (1+ a,1,1), (1,1+ a,1), (1,1,1+ a) \}.
\]
Volem determinar la dimensió del subespai \( S \) en funció de \( a \).

1. Escrivim els vectors com a files d’una matriu:
\[
A = \begin{pmatrix}
1+a & 1 & 1 \\
1 & 1+a & 1 \\
1 & 1 & 1+a
\end{pmatrix}.
\]

2. Calculem el determinant de la matriu \( A \):

Si \( \det(A) \neq 0 \), els vectors són linealment independents i la dimensió és \( 3 \). Si \( \det(A) = 0 \), hi ha dependència lineal i la dimensió serà menor que \( 3 \).

Calculem el determinant:
\[
\det(A) = \begin{vmatrix}
1+a & 1 & 1 \\
1 & 1+a & 1 \\
1 & 1 & 1+a
\end{vmatrix}.
\]
Utilitzem la regla de Sarrus:
\[
\det(A) = (1+a)(1+a)(1+a) + (1)(1)(1) + (1)(1)(1) – [(1)(1+a)(1) + (1)(1)(1+a) + (1+a)(1)(1)].
\]
Simplifiquem:
\[
\det(A) = (1+a)^3 + 2 – [1+a + 1+a + 1+a].
\]
\[
\det(A) = (1+a)^3 + 2 – (3+3a).
\]
Expansió de \((1+a)^3\):
\[
(1+a)^3 = 1 + 3a + 3a^2 + a^3.
\]
Substituïm:
\[
\det(A) = (1 + 3a + 3a^2 + a^3) + 2 – (3 + 3a).
\]
\[
\det(A) = 1 + 3a + 3a^2 + a^3 + 2 – 3 – 3a.
\]
\[
\det(A) = a^3 + 3a^2.
\]

3. Analitzem el determinant:
\[
\det(A) = a^3 + 3a^2 = a^2(a + 3).
\]
Per tant:
– Si \( a \neq 0 \) i \( a \neq -3 \), llavors \( \det(A) \neq 0 \), i la dimensió de \( S \) és \( 3 \).
– Si \( a = 0 \), llavors \( \det(A) = 0 \), i la dimensió és menor que \( 3 \).
– Si \( a = -3 \), també \( \det(A) = 0 \), i la dimensió és menor que \( 3 \).

4. Analitzem els casos especials:
– Si \( a = 0 \):
Els vectors són:
\[
(1, 1, 1), (1, 1, 1), (1, 1, 1),
\]
que són linealment dependents. Per tant, la dimensió de \( S \) és \( 1 \).
– Si \( a = -3 \):
Els vectors són:
\[
(-2, 1, 1), (1, -2, 1), (1, 1, -2).
\]
Escrivim la matriu corresponent:
\[
\begin{pmatrix}
-2 & 1 & 1 \\
1 & -2 & 1 \\
1 & 1 & -2
\end{pmatrix}.
\]
El determinant és zero, però els vectors són linealment independents en un subespai de dimensió \( 2 \) (verificable per combinacions lineals).

Resposta final

– Si \( a \neq 0 \) i \( a \neq -3 \), la dimensió de \( S \) és \( 3 \).
– Si \( a = 0 \), la dimensió de \( S \) és \( 1 \).
– Si \( a = -3 \), la dimensió de \( S \) és \( 2 \).

Tags
Sobre l'autor
Oscar Alex Fernandez Mora Etern estudiant de la Rússia tsarista. Gran aficionat als destil·lats i als fermentats. Malaltís de llibres de la MIR i entusiasta del #LaTeX. Soci de l’ACBC. Important actiu del projecte Campana de Gauss

Leave a reply

L'adreça electrònica no es publicarà. Els camps necessaris estan marcats amb *