LEMNISCATA
Matemàtiques
Donada la funció
$$f(x, y) = e^{1-x^2} + (xy – 3)^2$$
(a) Calculeu el vector gradient de $f$ en el punt $(1, 4)$, és a dir, $\nabla f(1, 4)$. Digueu quina és la direcció que indica aquest vector.
El vector gradient de $f(x, y)$ és:
$$\nabla f(x, y) =
\begin{pmatrix}
-2x e^{1-x^2} + 2y (xy – 3) \\
2x (xy – 3)
\end{pmatrix}$$
Substituint el punt $(1, 4)$, tenim:
$$\nabla f(1, 4) =
\begin{pmatrix}
6 \\
2
\end{pmatrix}$$
El vector gradient de $f$ en el punt $(1, 4)$ indica la direcció de màxim creixement de la funció en aquest punt.
(b) Comproveu que l’equació
$$e^{1-x^2} + (xy – 3)^2 = 2$$
defineix implícitament la variable $y$ en funció de la variable $x$ al voltant del punt $(1, 4)$.
Aplicarem el teorema de la funció implícita (TFIMP) per fer la comprovació demanada:
Definim la funció
$$F(x, y) = e^{1-x^2} + (xy – 3)^2 – 2 = 0$$
Per tant, podem afirmar pel teorema de la funció implícita (TFIMP) que la variable $y$ queda definida implícitament per la variable $x$, $y = y(x)$, al voltant del punt $(1, 4)$.
(c) Comproveu que (y'(1) = -3).
Sabem que:
$$\frac{dy}{dx}(1) = -3$$
Per calcular $y'(1)$, utilitzem la fórmula derivada del teorema de la funció implícita:
$$y'(1) = -\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{\partial F}{\partial x}(1, 4)}{\displaystyle\frac{\partial F}{\partial y}(1, 4)}.$$
Substituint els valors:
$$y'(1) = -\frac{6}{2} = -3.$$