Càlcul de valors i vectors propis d’una matriu 3×3

Calcular els valors propis i vectors propis de la següent matriu: \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -3 & 1 & 0 \\ 4 & -7 & 1 \end{bmatrix} Calcula també la dimensió de l’espai propi $E(\lambda)$ corresponent a cada valor propi $\lambda$.

$$A =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
-3 & 1 & 0 \\
4 & -7 & 1
\end{bmatrix}$$
$$P(\lambda) = \det(\lambda I – A) = \det\left(
\begin{bmatrix}
\lambda & 0 & 0 \\
0 & \lambda & 0 \\
0 & 0 & \lambda
\end{bmatrix} –
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
-3 & 1 & 0 \\
4 & -7 & 1
\end{bmatrix}
\right) = \det\left(
\begin{bmatrix}
\lambda – 1 & 0 & 0 \\
3 & \lambda – 1 & 0 \\
-4 & 7 & \lambda – 1
\end{bmatrix}
\right)$$
$$= \lambda^3 – 3\lambda^2 + 3\lambda – 1 = (\lambda – 1)^3$$

Aquesta matriu té un sol valor propi, $\lambda = 1$, amb multiplicitat algebraica 3.

Per trobar els vectors propis, cal resoldre:
$$\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
-3 & 1 & 0 \\
4 & -7 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
z
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
z
\end{bmatrix}$$
El sistema resultant és:
$$\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
-3 & 1 & 0 \\
4 & -7 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
z
\end{bmatrix} –
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
z
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end{bmatrix}$$
Resolent aquest sistema, queda clar que $x = 0$ i $y = 0$, però $z$ és lliure. Per tant, l’espai propi associat a $\lambda = 1$ és generat pel vector $(0, 0, 1)$, que és l’eix $Z$.
La dimensió de l’espai propi és $1$.