Problema cervesa i sistemes d’equacions

Una cervesera produeix $3$ tipus de cervesa: lager, porter i IPA. Produeix $420$ litres. Una setmana produeix de la lager el mateix que de porter i IPA i una altra setmana produeix de la porter un $20\%$ més que la suma de la meitat de la lager i la tercera part de la IPA.

Per resoldre el problema, podríem plantejar un sistema d’equacions amb tres incògnites, una per a cada tipus de cervesa. Les incògnites podrien ser $L$, $P$ i $I$, per exemple, amb $L$ que representa la quantitat de lager produïda, $P$ la quantitat de porter i $I$ la quantitat d’IPA.

El sistema d’equacions podria ser el següent:

$L + P + I = 420$ (la suma total de les tres quantitats de cervesa és de 420 litres)
$L = P + I$ (la quantitat de lager produïda en la primera setmana és igual a la quantitat de porter i IPA combinades)
$P = 1.2\cdot(L/2 + I/3)$ (la quantitat de porter produïda en la segona setmana és un $20$% més gran que la suma de la meitat de la lager i la tercera part de la IPA)

A partir d’aquestes equacions, podríem resoldre el sistema per a les tres incògnites.

$$\begin{aligned}
x + y + z &= 420 \\
x &= y + z \\
y &= 1.2 \left(\frac{x}{2} + \frac{z}{3}\right)
\end{aligned}$$

A partir de la segona equació, podem desfer-nos de la incògnita $L$, ja que sabem que $L = P + I$. Si substituïm $L$ per $P + I$ a la primera i la tercera equació, obtenim:

\begin{aligned}
P + I + P + I &= 420\\
1.2 \cdot (0.5 \cdot (P + I) + \frac{1}{3} \cdot I) &= P
\end{aligned}

A partir de la segona equació, podem desfer-nos de la incògnita $I$, ja que sabem que $I = L – P$. Si substituïm $I$ per $L – P$ a la primera i la tercera equació, obtenim:

\begin{aligned}
L + P + (L – P) &= 420 \\
1.2 \cdot (0.5 \cdot L + \frac{1}{3} \cdot (L – P)) &= P
\end{aligned}

Simplificant aquestes equacions, obtenim:

\begin{aligned}
2L &= 420 \\
0.8L + 0.4P &= P
\end{aligned}

Resolent la primera equació, obtenim $L = 210$. Substituint $L$ per 210 a la segona equació, obtenim:

\begin{aligned}
0.8 \cdot 210 + 0.4P &= P \\
P &= 150
\end{aligned}

Finalment, substituïm $L$ i $P$ a la primera equació per obtenir la producció de la IPA:

\begin{aligned}
L + P + I &= 420 \\
210 + 150 + I &= 420 \\
I &= 60
\end{aligned}

Per tant, la producció de la lager és de 210 litres, la producció de la porter és de 150 litres i la producció de la IPA és de 60 litres.